# 3D数字孪生

**Repository Path**: Zero_0002/3d-digital-twin

## Basic Information

- **Project Name**: 3D数字孪生
- **Description**: 3D数字孪生项目
- **Primary Language**: Unknown
- **License**: Not specified
- **Default Branch**: master
- **Homepage**: None
- **GVP Project**: No

## Statistics

- **Stars**: 1
- **Forks**: 3
- **Created**: 2025-05-30
- **Last Updated**: 2025-12-30

## Categories & Tags

**Categories**: Uncategorized

**Tags**: None

## README

# 1.  **超椭圆（Superellipse）** 或称为 **Lamé曲线** 

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## 1. 原始代码分析

```csharp
section.Add(new Point(
    x * Math.Sign(Math.Cos(t)) * Math.Pow(Math.Abs(Math.Cos(t)), 2 / n),
   -y * Math.Sign(Math.Sin(t)) * Math.Pow(Math.Abs(Math.Sin(t)), 2 / n)));
```

这里构造的是超椭圆轮廓上的一个点 `Point(x, y)`，用于加入到 `section` 点集当中。我们来把它结构化地拆解。

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## 2. 背后的数学公式（超椭圆方程）

超椭圆的参数方程（Lamé 曲线）为：

![image-20250805085114712](C:\Users\32371\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20250805085114712.png)

对应你的代码中：

| 数学符号 | 代码变量        |
| -------- | --------------- |
| aa       | `x`             |
| bb       | `y`             |
| nn       | `n`（控制形状） |
| tt       | `t`（当前角度） |

------

## 3. 每个部分的作用

### 🔸 `Math.Sign(...)`

返回输入值的符号（正号 +1，负号 -1）：

- 用来保持余弦或正弦原来的符号（因为 `Math.Pow(..., fractional)` 不能处理负数）

例如：

```csharp
Math.Sign(Math.Cos(t)) * Math.Pow(Math.Abs(Math.Cos(t)), 2 / n)
```

就是为了实现：

sgn(cos⁡t)⋅∣cos⁡t∣2/n\text{sgn}(\cos t) \cdot |\cos t|^{2/n}

------

### 🔸 `Math.Pow(Math.Abs(...), 2 / n)`

- 控制角度的非线性缩放
- `n` 越大，图形越接近矩形
- `n` 越小（但 > 0），图形越接近星形或花瓣形状

| n 值  | 图形趋势   |
| ----- | ---------- |
| n = 2 | 标准椭圆   |
| n > 2 | 图形变“方” |
| n < 2 | 图形变“尖” |

------

### 🔸 负号： `-y * ...`

这是为了坐标系转换，一般在 **图形坐标系中 Y轴是向下的**（比如 Windows GUI 系统、Canvas等），所以需要翻转一下。

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## 4. 可视化说明

| n 值 | 图形描述               |
| ---- | ---------------------- |
| 2    | 椭圆（标准）           |
| 4    | 近似正方形，边有弧度   |
| 1.5  | 有点像星形，边缘更尖   |
| ∞    | 完全是正方形（理论上） |

------

## ✅ 5. 总结这段代码的作用

这段代码的作用是：

> 🔷 根据当前角度 `t`，计算出一个超椭圆上的点，并将它添加到 `section` 点集中，用于构造整个轮廓。

你可以在循环中多次使用这个公式，变化 `t` 从 `0` 到 `2π`，就能画出一个完整的超椭圆。

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## ✅ 补充：如何完整生成超椭圆轮廓？

```csharp
List<Point> section = new List<Point>();
int segments = 100;
double a = 100; // x 半轴
double b = 60;  // y 半轴
double n = 4;   // 控制形状

for (int i = 0; i < segments; i++)
{
    double t = 2 * Math.PI * i / segments;
    double px = a * Math.Sign(Math.Cos(t)) * Math.Pow(Math.Abs(Math.Cos(t)), 2 / n);
    double py = -b * Math.Sign(Math.Sin(t)) * Math.Pow(Math.Abs(Math.Sin(t)), 2 / n);
    section.Add(new Point(px, py));
}
```

# 2. 椭圆

计算椭圆上点的 x,yx, y 坐标，通常是根据参数 tt （角度或弧度）来用**参数方程（parametric equation）**表示的。以下是标准椭圆的公式解析。

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## 一、椭圆的标准参数方程（以中心为原点）

设椭圆的长轴为 aa，短轴为 bb，角度参数 t∈[0,2π]t \in [0, 2\pi]，那么椭圆上的点的坐标公式是：

![image-20250805091044911](C:\Users\32371\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20250805091044911.png)

> ✅ 这适用于椭圆**中心在原点 (0,0)**，长轴水平朝向的情形。

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## 二、带中心点偏移（中心在 (cx,cy)(cx, cy)）

![image-20250805091053252](C:\Users\32371\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20250805091053252.png)

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## 三、旋转后的椭圆（绕原点旋转角度 θ\theta）

如果椭圆还绕原点**顺时针旋转了角度** θ\theta，则公式为：

![image-20250805091104718](C:\Users\32371\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20250805091104718.png)

> ✅ 非常适用于椭圆有旋转角度时，例如图像分析或几何建模场景。

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## 示例（C#代码）

```csharp
// 生成一个椭圆上的点
Point GetEllipsePoint(double a, double b, double t)
{
    double x = a * Math.Cos(t);
    double y = b * Math.Sin(t);
    return new Point(x, y);
}
```

或者加上偏移：

```csharp
Point GetEllipsePoint(double a, double b, double t, double cx, double cy)
{
    double x = cx + a * Math.Cos(t);
    double y = cy + b * Math.Sin(t);
    return new Point(x, y);
}
```

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## 常用角度 t 的对应点（标准椭圆）

| t (角度)      | x=acos⁡(t)x = a \cos(t) | y=bsin⁡(t)y = b \sin(t) |
| ------------- | ---------------------- | ---------------------- |
| 0∘0^\circ     | aa                     | 00                     |
| 90∘90^\circ   | 00                     | bb                     |
| 180∘180^\circ | −a-a                   | 00                     |
| 270∘270^\circ | 00                     | −b-b                   |

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## 椭圆的非参数形式（隐式方程）

如果你不使用角度，而是要判断某个 (x,y)(x, y) 是否在椭圆上，可以使用椭圆的标准方程：

![image-20250805102850337](C:\Users\32371\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20250805102850337.png)

- 如果 < 1，点在椭圆内部；
- 如果 = 1，点在椭圆上；
- 如果 > 1，点在椭圆外部