# filters

**Repository Path**: cyt-curry/filters

## Basic Information

- **Project Name**: filters
- **Description**: 使用面向对象思想，编写了一个一阶高通滤波器和一阶低通滤波，以及均值滤波。其中，滑动平均值滤波还在开发中。前面两个算法是根据无源RC滤波电路，通过离散化推导出来的公式。在笔记中有详细推导过程。
- **Primary Language**: C++
- **License**: Not specified
- **Default Branch**: main
- **Homepage**: None
- **GVP Project**: No

## Statistics

- **Stars**: 0
- **Forks**: 0
- **Created**: 2022-08-02
- **Last Updated**: 2022-08-03

## Categories & Tags

**Categories**: Uncategorized

**Tags**: None

## README

# filters

#### 介绍
使用面向对象思想，编写了一个一阶高通滤波器和一阶低通滤波，以及均值滤波。其中，滑动平均值滤波还在开发中。前面两个算法是根据无源RC滤波电路，通过离散化推导出来的公式。在笔记中有详细推导过程。
# 滤波器

###### 使用面向对象思想，实现了低通滤波器，高通滤波器以及均值滤波。目前正在编写滑动平均值滤波

## 低通滤波器（一阶）

过滤掉一些高频的信号。高于截止频率部分会被滤掉，保留低于截止频率的部分

#### 定义

对于一阶低通滤波而言，从控制模型上分析就是一个一阶惯性环节，其描述形式如式所示。
$$
H(s)=\frac{1}{1+\frac{s}{w_c}},w_c=2\pi*f_C,\text{其中f_c为低通滤波器的截止频率}
$$


### 数学原理分析

#### 电路构成（一阶RC低通滤波）

![img](filters.assets/v2-e61e3dfe67b6bd32d272d4b05c107e5b_1440w.jpg)

对于这个电路输入输出关系的传递函数
$$
H(jw)=\frac{V_{out}}{V_{in}}=\frac{\frac{1}{jwC}}{R+\frac{1}{jwC}}=\frac{1}{1+jwRC}
$$
令s=jw，得到
$$
H(s)=\frac{1}{1+sRc}
$$
由定义中的模型公式可以知道此时
$$
RC=\frac{1}{2\pi*f_C}
$$
所以，低通滤波器的截止频率为
$$
f_c=\frac{1}{2\pi*RC}
$$
为了设计一个数字化的低通滤波器，需要对上面的连续系统做离散化处理（z变换）。对于LPF，主要采用一阶后向差分法，数学表达式为
$$
s=\frac{1-z^{-1}}{T_s},其中T_s表示采样周期
$$
所以，LPF的数字表达式为
$$
H(z)=\frac{V_{out}(z)}{V_{in}(z)}=\frac{1}{1+\frac{1-z^{-1}}{T_s}RC}=\frac{T_s}{T_s+(1-z^{-1})RC}
$$
可以变换成
$$
V_{in}(z)=(1+\frac{RC}{T_s})V_{out}(z)-\frac{RC}{T}V_{out}(z)z^{-1}
$$
利用z变换的一阶前向差分，滞后性质可转化为差分方程

性质为
$$
Z[y(kT-nT)]=z^{-1}Y(z)
$$

$$
V_{in}(n)=(1+\frac{RC}{T_s})V_{out}(n)-\frac{RC}{T_s}V_{out}(n-1)
$$
最终可以得到LPF的差分表达式为
$$
V_{out}(n)=V_{out}(n-1)+\frac{T_s}{T_s+RC}(V_{in}(n)-V_{out}(n-1))
$$
令滤波系数
$$
\alpha=\frac{T_s}{T_S+RC},且\alpha\in[0,1],那么LPF的差分表达式可以改写为\\
V_{out}(n)=V_{out}(n-1)+\alpha(V_{in}-V_{out}(n-1))\\
这个公式可以改写为
V_{out}(n)=(1-\alpha)V_{out}(n-1)+\alpha V_{in}(n)
$$

##### 所以，算法实现中使用的公式为

$$
Y(n)=\alpha X(n) + (1-\alpha) Y(n-1) \\
\text{X(n):本次采样值}\quad \text{Y(n-1):上一次的滤波值}\quad \alpha:滤波系数
$$

## 高通滤波器（一阶）

过滤掉一些低频的信号。与低通滤波对偶

### 数学原理分析

![img](filters.assets/20200208052846504.png)
$$
H(jw)=\frac{1}{1+\frac{1}{jwRC}}\\
令s=jw \\
H(s)=\frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)}=\frac{sRC}{sRC+1}\\
令s=\frac{1-z^{-1}}{T_s},其中T_s表示采样周期\\
H(z)=\frac{V_{out}(z)}{V_{in}(z)}=\frac{\frac{1-z^{-1}}{T_s}RC}{\frac{1-z^{1}}{T_s}RC+1}\\
V_{out}(z)-z^{-1}V_{out}(z)+\frac{T_s}{RC}V_{out}(z)=V_{in}(z)-z^{-1}V_{in}(z)\\
V_{out}(n)-V_{out}(n-1)+\frac{T_s}{RC}V_{out}(n)=V_{in}(n)-V_{in}(n-1)\\
V_{out}(n)=\frac{RC}{RC+T_s}(V_{in}(n)-V_{in}(n-1))+\frac{T_s}{RC+T_s}V_{out}(n-1)\\
令滤波系数\alpha=\frac{T_s}{T_s+RC},那么HPL的差分表达式为\\
V_{out}(n)=\alpha V_{out}(n-1)+(1-\alpha)(V_{in}(n)-V_{in}(n-1))
$$


##### 程序一般使用的公式是

$$
Y(n)=\alpha Y(n-1) + (1-\alpha)(X(n)-X(n-1)) \\
\text{X(n):本次采样值}\quad \text{Y(n-1):上一次的滤波值}\quad \alpha:滤波系数
$$