# Math

**Repository Path**: lvzhenchao/math

## Basic Information

- **Project Name**: Math
- **Description**: 与AI相关的数学知识：
1、线性代数
2、微积分
3、统计学&概率
- **Primary Language**: Unknown
- **License**: Not specified
- **Default Branch**: master
- **Homepage**: None
- **GVP Project**: No

## Statistics

- **Stars**: 0
- **Forks**: 0
- **Created**: 2025-02-20
- **Last Updated**: 2025-05-06

## Categories & Tags

**Categories**: Uncategorized

**Tags**: None

## README

# 本项目是有关高等数学的知识点；主要是针对AI的; 
> 数学有一个很重要的思维就是“数形结合”
> 线性代数紧紧围绕向量加法与数乘

## 00、线性代数
- 线性代数是学习任何技术学科都需要掌握的科目之一

### 0-1、几何
- 含义：是研究空间中物体的形状、大小、位置关系、角度、距离等性质的分支学科
- 作用：几何水平上的理解能让你判断出解决特定问题需要用什么样的工具，为什么有用，以及如何解读最终结果

### 0-2、数值【代数】
- 含义：是研究数学符号、运算规则及其变换的学科。代数的核心思想是通过符号和变量表示未知数和数量之间的关系，并利用各种代数运算来解决方程、表达公式以及研究代数结构
- 作用：数值上的理解则能让你顺利应用这些工具

### 0-3、线性代数
- 线性代数有许多隐藏其中的直观理解，而且是可视化直观理解
- 特点：线性代数中的计算和可视化直观理解之间的联系往往相当直接

## 1、向量
- 地位：线性代数中最基础、最根源的组成部分就是向量
- 【线性代数给物理学家和计算机图形提供了一种语言，通过计算机处理的数字来描述并操纵空间】
- 观点1：向量是空间中的箭头
- 观点2：向量是有序的数字列表

### 1-1、含义
- 物理学生：向量是空间中箭头；决定一个向量的是它的长度和它所指的方向；向量可以自由落脚
- 计算机学生：向量是有序的数字列表；
- 数学家：向量可以是任何东西；只要保证两个向量相加以及数字与向量相乘是有意义即可；向量经常以原点作为起点

### 1-2、向量运算
- 向量相加和向量数乘：线性代数中每一个主题都围绕着这两种运算
- 缩放：就是将向量的每个分量乘以一个固定的数（缩放因子：标量）
- 标量：标量只有大小，没有方向；与向量相对，向量是既有大小又有方向

#### 1-2-1、向量加法
- 向量加法：在几何上，向量加法就是将一个向量的终点与另一个向量的起点连接。可以用“平行四边形法则”或者“端到端法则”来理解。
- 例如：若有两个二维向量 v1 = (x1, y1) 和 v2 = (x2, y2), 它们的和v1+v2就是将v1和v2放在一起，形成一个【平行四边形的对角线】。

#### 1-2-2、标量乘法
- 标量乘法：标量乘法则是将向量沿着其方向缩放。
- 例如：当你用一个标量 𝜆 乘以一个向量时，几何上就是将向量拉长或压缩。如果 𝜆>1 向量变长；如果 0<𝜆<1 向量缩短；如果 𝜆=−1，向量方向反向。


## 2、线性组合，张成的空间与基
- 将向量坐标[3,-2]中每个坐标看作成单个标量 

### 2-1、线性组合
- 含义：两个数乘向量的和被称为这两个向量的线性组合
- 含义：线性组合是指从向量空间中选取一组向量，通过对这些向量进行数乘运算后再求和所得到的结果。
- 线性这个词的来源：如果固定其中一个标量，让另一个标量自由变化，所产生向量的终点会表述成一条直线
- 两个标量运动轨迹：3种情况【所有的二维向量】【初始向量共线时：直线】【初始向量都是零向量：点】

### 2-2、张成的空间
- 含义：所有可以表示为给定向量线性组合的向量的集合
- 当你考虑一个向量时，就把它看作箭头；当你考虑多个向量时，就把它们都看作点
- 对大部分二维向量来说，它们张成的空间是整个无限大的二维平面；但如果共线，它们张成的空间就是一条直线
- 一个基：一个集合，一组基

### 2-3、基
- 基向量：就是标量缩放的对象；例如xy坐标轴中的单位数量1
- 特殊的的基向量：i和j是xy坐标系的[基向量]
- 含义：向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关的向量集

#### 2-3-1、线性相关
- 含义：即一组向量中至少有一个是多于的，没有对张成空间做出任何贡献【移除其中一个向量而不减少张成的空间】

#### 2-3-2、线性无关
- 含义：如果所有向量都给张成的空间增添了新的维度

## 3、矩阵与线性变换
- 重要概念为什么重要：让线性代数的其他内容一目了然，又常被初次学习的人忽视
- 概念：线性变化的概念以及它和矩阵的关系
- 总结1：线性变换是操纵空间的一种手段，保持网格线平行且等距分布，并且保持原点不动
- 总结2：矩阵向量乘法就是计算线性变换作用于给定向量的一种途径
- 总结3：每当看到矩阵时，就可以把它理解为对空间的一种特定变换

### 3-1-1、矩阵和线性变换的概念
- 向量空间：是线性代数的基本研究对象，其定义中明确规定了向量加法和数乘两种运算
- 矩阵：是线性代数中的重要概念，它是一个由数排成的矩形阵列【可以看作是向量空间之间的线性变换的一种表示】
- 线性变换：是从一个向量空间到另一个向量空间的映射，保持向量加法和数乘运算
- 补充：矩阵的每一列都可以看作基向量【i,j】变换后的坐标

### 3-2、线性变化
- 解析变换：变化是函数的一种花哨说法；它接收内容，并输出对应结果；
- 解析线性变化：接收一个向量并且输出一个向量的变换
- 变换和函数区别：为什么叫线性变换【暗示以特定方式来可视化这一输入-输出关系】【暗示用运动去思考】
- 举例：在二维平面上，将向量绕原点逆时针旋转θ角度就是一个线性变换
- 特点：1直线在变换后依然是直线，不能弯曲；2原点保持不变

#### 3-2-1、线性变化的表示方法
- 方式：将箭头的位置变化为无数个点
- 线性变换：保持网格线平行且等距分布 的变换
- 例子：部分变换很容易思考【原点的旋转】

#### 3-2-2、线性变换-【数值描述】【计算公式】
- 基础：单位向量[i,j]；运用这个公式，给你一个任意一个向量，都能告诉它在变换后的位置
- 如图：一个二维线性变换仅由四个数字确定
- 线性变换对向量的作用：与缩放向量再相加的思想一致

### 3-3、矩阵与线性变换的关系
- [[a,c],[b,d]]：在这里只是一个记号，含有描述线性变换的信息
- 矩阵可以用来表示线性变换
- 线性变换是操纵空间的一种手段
 
#### 3-3-1、规则
- 把矩阵的列看作变换后的基向量
- 把矩阵向量乘法看作它们的线性组合
- 总结：每一个矩阵可以看作为对空间的一种特定变换；矩阵是一个种记号，含有描述线性变换的信息
- 总结：矩阵相当于【一种计算公式】+【数值】，作用到一个向量上，给出你一个变换后的向量【线性变换】

## 4、矩阵乘法与线性变换的联系
- 线性变换：是将向量作为输入和输出的一类函数【可以看作对空间的挤压伸展，它保持网格线平行且等距分布，并且保持原点不变】【任意向量都能表示为基向量（i,j）的线性组合】
- 关键点：线性变换由它对空间的基向量的作用完全决定；二维空间中，基向量就是i帽和j帽，其他任意向量都能表示为基向量的线性组合

### 4-1、矩阵相乘
- 规则：把右侧的向量以列为单位，拆开，分别乘以左侧的矩阵，最后相加
- 矩阵：代表特定的向量变换
- 意义：记得矩阵相乘就是把其中一个矩阵拆成不同的列，然后跟另一个矩阵相乘，再相加起来

## 5、行列式
- 感悟：计算的目的不在于数字本身，而在于洞察其背后的意义

### 5-1、行列式的含义
- 特点：线性变换改变面积的比例，被称为线性变换的行列式；

#### 5-1-1、几何意义
- 二维空间：二阶行列式表示以两个向量为邻边的平行四边形的面积。
- 三维空间：三阶行列式表示以三个向量为棱的平行六面体的体积

## 6、逆矩阵、列空间、秩与零空间
- 目的：透过直观的线性变换来理解矩阵与向量运算
- 方式：以线性变换的眼光来看

### 6-1、逆矩阵

### 6-2、列空间

### 6-3、秩
- 含义：代表变换后空间的维数
- 当变换的结果为一条直线时，也就是说结果是一维的，称这个变换的秩为1
- 当变换后的向量落在某个二维平面上，称这个变换的秩为2

### 6-4、零空间
- 设A是一个m*n矩阵，所有满足Ax=0的n维向量x构成的集合，称为矩阵A的零空间

## 7、点积与对偶性

### 7-1、含义
- 点积：又叫内积，是两个向量之间的一种代数运算
- 对偶性：指在线性空间V中，每一个向量可以对应一个线性函数
- 关系：可以用来实现一个从向量到实数的线性函数，就是每个向量可以通过点积定义一个线性泛函
- 总结：点积可以被看作是将一个向量映射为对偶空间中的线性泛函的方式，因此点积是连接向量空间与其对偶空间的桥梁，是对偶性的具体实现手段之一

### 7-2、点积
- 理解：通过线性变换才能真正理解
- 几何解释：向量v和向量w的点积=w的投影长度和v的长度相乘
- 点积和顺序无关

### 7-3、对偶性
- 定义：两种数学事物之间自然而又出乎意料的对应关系
- 定义1：一个向量的对偶是由它定义的线性变换
- 定义2：一个多维空间到一维空间的线性变换的对偶是多维空间中的某个特定向量
- 单位向量和给定向量的点积
- 非单位向量和给定向量的点积：首先朝给定向量上投影，然后将投影的值与给定向量长度相乘
- 无论何时看到一个二维到一维的线性变换它的输出空间都是一维数轴

### 7-4、总结
- 表面看：点积是理解投影的有利的几何工具，并且方便检验两个向量的指向是否相同
- 进一步讲：两个向量点乘，就是将其中一个向量转化为线性变换
- 向量的个性：不把他看作空间的箭头，而把它看作线性变换的物质载体