# Research **Repository Path**: pengrui1993/Research ## Basic Information - **Project Name**: Research - **Description**: No description available - **Primary Language**: Unknown - **License**: Not specified - **Default Branch**: master - **Homepage**: None - **GVP Project**: No ## Statistics - **Stars**: 0 - **Forks**: 0 - **Created**: 2020-06-22 - **Last Updated**: 2020-12-19 ## Categories & Tags **Categories**: Uncategorized **Tags**: None ## README # 研究科全体 ## 線形代数・線形計算 (Linear Algebra, Numerical Linear Algebra) ### 東京大学工学教程 基礎系 数学 線形代数 I 不変的な工学知識をまとめた『東京大学工学教程』の一冊で、線形代数の標準的事項について、理工学の立場から整理し編纂した教科書。現代数学的に整理された抽象線形空間の理論を始めから持ち出すことは避け、理工学の場面で用いられる実数や複素数を要素とするベクトル表示や行列表現を積極的に用い、線形方程式や固有値等の数学的理論とその理工学的意味を丁寧に解説する。通常の学部初年次の講義で扱われる内容に留まることなく、さまざまな場面で必要になる線形代数の基礎についてセルフコンテインドに書かれており、初学者はもとより、学部初年次以降の復習・確認にも有用な一冊。続巻の『線形代数II』と合わせて理工学に必要な確かな線形代数のレファレンスにもなる。 １　行列 　１．１　行列 　１．２　行列の演算 　１．３　逆行列 　１．４　転換と共役 　１．５　トレース 　１．６　ノルム 　１．７　特殊な行列 ２　行列式 　２．１　置換 　２．２　行列式の定義 　２．３　多重線形成 　２．４　諸公式 　２．５　展開公式 　２．６　余因子 　２．７　行列の計算法 ３　基本変形と掃き出し 　３．１　行列の基本変形 　３．２　階数標準形 　３．３　既約階段形 　３．４　逆行列の計算 ４　階数 　４．１　階数の定義 　４．２　階数標準形と既約階段形の一意性 　４．３　階数の性質 　４．４　階数の工学的意味 ５　線形方程式系 　５．１　解の存在と一意性 　５．２　解のパラメーター表示 　５．３　掃き出し法 　５．４　Cramerの公式 　５．５　微分方程式の差分近似から生じる方程式 　５．６　Sylvester方程式 　５．７　Lyapunov方程式 ６　固有値 　６．１　固有値と固有ベクトル 　６．２　固有値の工学的意味 　６．３　対称行列の固有値 　６．４　Hermite行列の固有値 　６．５　Schur分解 　６．６　正規行列 　６．７　一般の行列の固有値 　６．８　Jordan標準形 ７　２次形式 　７．１　２次形式の定義 　７．２　対称行列の正定値性 　７．３　Hermite行列の正定値性 　７．４　工学における正定値行列 　７．５　Sylvesterの慣性則 ８　特異値と最小２乗法 　８．１　特異性の定義 　８．２　特異性の性質 　８．３　最小２乗法 ９　ベクトル空間 　９．１　ベクトル空間 　９．２　部分空間 　９．３　線形独立性，線形従属性 　９．４　基底 　９．５　線形写像 　９．６　内積 　９．７　双対空間 　９．８　行列の階数―ベクトル空間の観点から 　９．９　マトロイド―線形独立性のもつ組合せ構造 ## 解析・数値解析 (Analysis, Numerical Analysis) ### 東京大学工学教程 基礎系 数学 微積分 NewtonとLeibnizによって創始された微積分学は、関数を微小部分に分解・分析し（微分学）、その後に微小部分を結合する（積分学）という近代科学の精神を最も顕著に表しており、あらゆる科学技術・工学の根幹を成している。本書は理工学的視点に立ち、工学への応用面で必要な概念と定理をできるだけ網羅することを目標として書かれた一冊。 第１章「基礎概念」では、解析の土台となる実数の公理、数列と級数、関数の極限・連続性の定義と初等関数について説明する。第２章では１変数関数の微分の基礎的な性質を解説し、続く第３章では多変数関数に拡張した議論を行い、偏微分と全微分について詳述している。第４章では、１変数のRiemann積分について、微分と積分の関係を与える微積分学の基本定理を説明した後、結果を多変数に拡張して解説する。 １　基本概念 　１．１　実数 　１．２　数列と級数 　１．３　関数 ２　微分法（１変数） 　２．１　微分 　２．２　Taylor展開 　２．３　級数と一様収束 ３　偏微分 　３．１　多変数関数の連続性と偏微分 　３．２　２変数関数の偏微分と偏導関数 　３．３　全微分 　３．４　合成関数の偏微分 　３．５　極値問題 　３．６　３変数以上の偏微分と偏導関数 　３．７　凸関数 　３．８　陰関数 　３．９　距離と位相 ４　Riemann積分 　４．１　１変数関数の定積分(Riemann積分) 　４．２　Darbouxの定理による定式化 　４．３ 広義積分 　４．４ 多重積分 　４．５ Riemann積分の積分変数変換 　４．６ 広義積分 　４．７ 多重積分の応用 　４．８ パラメータに関する微積分 ### 東京大学工学教程 基礎系 数学 常微分方程式 常微分方程式は，物理現象や社会現象を記述するためになくてはならない道具である．そればかりでなく，それ自体が美しい論理構造を持つ分野でもあり，特に線形常微分方程式に対しては緻密な一般論が構築され，固有関数展開を通じて偏微分方程式論や関数空間論の基礎を与えている．非線形常微分方程式に対しては，さらに豊富な内容が今日も研究の対象となっている．本書では，多くの具体例，応用例を示しながら，常微分方程式の多彩な側面を解説する． 1　常微分方程式の例 2　1階常微分方程式の例と解法 3　定数係数2階線形常微分方程式 4　変数係数2階線形常微分方程式 5　Sturm--Liooouville型微分方程式の境界値問題 6　高階微分方程式と連立微分方程式 7　微分方程式の平衡点と安定性 ### 東京大学工学教程 基礎系 数学 偏微分方程式 不変的な工学知識をまとめた『東京大学工学教程』の一冊。自然現象の数理的記述に欠かせない偏微分方程式について、各種方程式の導出や解法を的確に整理するとともに、フーリエ解析、複素関数論、特殊関数論と合流し有用性を存分に味わうことができる舞台まで、丁寧に解説された教科書。 １　１階偏微分方程式 　１．１　線形偏微分方程式 　１．２　１階偏微分方程式と特性帯 　１．３　１階偏微分方程式の初期値問題 　１．４　完全積分 　１．５　Hamilton-Jacobiの方程式 　１．６　正準方程式の積分 ２　２階線形偏微分方程式 　２．１　２階線形偏微分方程式の例 　２．２　２階偏微分方程式の分類と一般論 　２．３　変数分離と固有値問題 　２．４　Green関数と境界値問題 　２．５　直交座標系における初期値，境界値問題の解法 　２．６　中心対称な問題 ３　積分変換を利用した解法 　３．１　積分変換の基本と可能性条件 　３．２　有限積分変換 　３．３　無限積分変換 付録Ａ 　Ａ．１　ガンマ関数とベータ関数 　Ａ．２　Bessel関数 　Ａ．３　Legendre関数 ### 東京大学工学教程 基礎系 数学 フーリエ・ラプラス解析 Fourier-Laplace Analysis 本書は理工学の広い分野で威力を発揮するFourier・Laplace解析の基礎を工学系の学部生が実際の問題に使える道具として会得することを目標とし，微積分と複素解析論の基本的な知識を背景に解説している。Fourier解析は複雑な周期関数や非周期関数を簡便に記述・解析することが可能となるため、数学の一大分野をなすまでに発展し、物理学に限らず理工学のほとんどの分野で欠かすことのできない数学的なツールとなっている。一方、Laplace解析は、Fourier解析に現れるFourier変換の発展ともいえるLaplace変換にもとづく解析体系である。特に時間発展など実用面における有用性が重視されて発展し、電気工学や制御工学などをはじめとする理工学の広い分野で重要な解析ツールとなっている。 １　基礎的事項 　１．１　三角関数と複素数の指数関数 　１．２　三角関数と指数関数の微分，積分 ２　Fourier級数 　２．１　有限区間における三角関数の直交性 　２．２　Fourier級数展開 　２．３　Fourier展開係数 　２．４　区分的に連続な関数 　２．５　Fourier級数展開定理 　２．６　いくつかの例 　２．７　Fourier級数展開定理 　２．８　一様収束 　２．９　不連続点での振る舞い 　２．10　平均収束 　２．11　任意の区間でのFourier級数展開 　２．12　複素係数のFourier級数展開 ３　直交関数系と一般化Fourier級数展開 　３．１　正規直交関数系 　３．２　任意関数系の直交化 　３．３　直交関数列によるFourier級数展開 　３．４　いくつかの例 ４　Fourier変換 　４．１　有限区間から無限区間への極限操作 　４．２　Fourier変換とその収束性 　４．３　いくつかの関数のFourier変換 　４．４　基本的な性質 　４．５　デルタ関数 　４．６　たたみこみ積分のFourier変換 　４．７　導関数のFourier変換 　４．８　Fourier変換の応用 ５　常微分方程式のGreen関数とFourier解析 　５．１　２階線形常微分方程式の境界値問題 　５．２　Green関数 　５．３　Green関数の求め方 　５．４　Green関数が存在する条件 　５．５　広義Green関数 ６　Fourier変換を用いた偏微分方程式の解法 　６．１　偏微分方程式の例 　６．２　変数分離法 　６．３　境界値問題とGreen関数法 　６．４　応用例 ７　Laplace変換 　７．１　Laplace変換の定義と収束例 　７．２　いくつかの関数のLaplace変換 　７．３　Laplace変換に関する関係式 　７．４　Laplace逆変換 　７．５　Laplace変換を用いた線形常微分方程式の初期値問題の解法 　７．６　Laplace変換を用いた偏微分方程式の解法 　７．７　Laplace変換の応用 ### 東京大学工学教程 基礎系 数学 複素関数論Ⅰ 不変的な工学知識をまとめた『東京大学工学教程』の一冊。 本巻では、工学の諸分野で広く応用されている連続変数の最適化と変分法について、その数理はもとより、最適化法の工学における位置づけや応用を丁寧に解説する。取り上げられている多くの具体例は、現実の問題に最適化法を適用する際のモデル化や工夫の指針を示す。また、理論の解説においても、図を用いたり工学における解釈を与えながら解説するなど、最適化法を多角的に理解できるよう配慮されている。 １　複素数とその関数 　１．１　複素数とその関数 　１．２　複素平面 　１．３　複素数の数列と級数 ２　複素関数と正則性 　２．１　複素関数とその連続性 　２．２　複素関数の微分可能性と正則性 ３　初等関数 　３．１　無限遠点 　３．２　べき級数 　３．３　指数関数，三角関数，双曲線関数 　３．４　対数関数 　３．５　一般のべき関数と多価性 　３．６　無限乗積 ４　等角写像 　４．１　等角写像の定義 　４．２　簡単な等角写像の例 　４．３　１次変換 　４．４　調和関数と等角写像 ５　特異点 　５．１　孤立特異点 　５．２　集積特異点 　５．３　分岐点 ６　複素積分 　６．１　Jordan閉曲線と正則領域の形 　６．２　複素積分の定義 　６．３　複素積分の基本的性質 　６．４　Cauchyの積分定理 　６．５　留数 　６．６　複素積分の応用　 ７．Cauchyの積分公式と複素関数のべき級数展開 　７．１　Cauchyの積分公式とそれから導かれる定理 　７．２　Cauchyの積分定理と正則性 　７．３　Taylor展開およびLaurent展開 ### 東京大学工学教程 基礎系 数学 複素関数論II Complex Function TheoryⅡ 「複素関数論I」の基礎に続き、前半では、位相幾何学の概念をもとに解析接続とRiemann面等の美しい理論体系とともに、正則関数やそれにまつわる積分などが持つ性質が直観的理解できるよう整理される。後半では、物理・工学で必須となるが学部教育においては体系だって学ぶ機会は少ないベータ関数、ガンマ関数、楕円関数、超幾何関数等について複素関数論の視点で基本的な性質がまとめられている。 1.複素積分特論 2.解析接続とRiemann面 3.有理型関数 4.楕円積分と楕円関数 5.複素変数の常微分方程式 6.直交多項式 7.超幾何関数で書かれる諸関数 8.合流型超幾何関数で書かれる諸関数 ## 確率・統計 (Probability, Statistics) ### 東京大学工学教程 基礎系 数学 確率・統計Ⅰ 不変的な工学知識をまとめた『東京大学工学教程』の一冊。理工学で必要不可欠な確率分布や検定手法の理論が整理され，基本的な分布・検定手法を網羅した教科書。データ解析例も豊富であり、手法の実際的な意味を確認しながら学ぶことができる。 １　確率の基礎 　１．１　事象と標本空間 　１．２　確率の定義 　１．３　順列の数と組合せの数 　１．４　Bayesの定理 ２　確率変数 　２．１　離散型の確率分布 　２．２　離散型の確率分布の例 　２．３　連続型の確率分布 　２．４　連続型の確率分布の例 　２．５　連続型の確率変数の変換 　２．６　k次のモーメントと歪度・尖度 ３　多次元の確率分布 　３．１　２次元の確率分布 　３．２　n次元の確率分布 　３．３　連続型の確率変数の変換 　３．４　多次元の確率分布の例 　３．５　Riemann-Stieltjes積分 　３．６　大数の法則と中心極限定理 ４　推定と検定 　４．１　母集団と標本 　４．２　点推定と区間推定 　４．３　仮説検定 　４．４　推定と検定の例 ５　異なった母集団の同一性の検定とF分布 　５．１　２つの母集団の同一性の検定 　５．２　３つ以上の母集団の同一性の検定と一元配置分散分析 　５．３　適合度のX2検定による独立性の検定 　５．４　相関関数を使った検定 　５．５　Wilcoxsonの順位和検定 　５．６　検定の例 ６　回帰分析 　６．１　単回帰分析 　６．２　重回帰分析 ７　ベクトルと行列を使った回帰分析 　７．１　重回帰モデルのベクトルと行列による表示 　７．２　誤差項の分散‐共分散行列 　７．３　最小二乗法と最小二乗推定量 　７．４　最小二乗推定量の標本分布と検定 　７．５　ベクトルと行列を使った分析の例 付録Ａ　確率空間と確率変数，収束の定義 　Ａ．１　確率空間 　Ａ．２　確率変数と可測関数 　Ａ．３　収束の定義 　Ａ．４　確率収束に関する定理 ### 東京大学工学教程 基礎系 数学 確率・統計II 実験計画法および時系列解析の２つの分野を解説。応用上使いやすい形の説明を目指し、コンパクトに教科書としてまとめた一冊。 1. 実験計画法 　1.1 一元配置分散分析 　1.2 二元配置分散分析 　1.3 多元配置分散分析 　1.4 2水準系の完全実施要因計画 　1.5 一部実施要因計画と直交表 　1.6 田口メソッド 2. 時系列解析 　2.1 確率過程の基本概念 　2.2 定常性と自己相関関数 　2.3 ARMAモデルの推定と予測 　2.4 状態空間モデル 　2.5 定常非線形モデル 　2.6 スペクトル密度関数 　2.7 スペクトル密度関数の推定 　2.8 非定常時系列データの解析 # コンピュータ科学 ## 数値計算（Numerical Algorithms) ### 工学基礎 数値解析とその応用 第０章　数値計算・数値解析 第１章　浮動小数点数と近似・誤差 第２章　関数近似（補間） 第３章　数値積分 第４章　数値微分 第５章　非線形方程式 第６章　線形方程式 第７章　固有値 第８章　常微分方程式 第９章　偏微分方程式 第１０章　加速 第１１章　乱数 ### 数値解析 (技術者のための高等数学) １　数値的方法の一般論（方程式の反復法 補間 スプライン　ほか） ２　線形代数の数値的方法（連立１次方程式：ガウス消去法 連立１次方程式：ＬＵ分解、逆行列 連立１次方程式：反復解法　ほか） ３　微分方程式の数値的解法（１階微分方程式の解法 多ステップ法 連立方程式および高階方程式の解法　ほか） ### Advanced Engineering Mathematics (Part E: Numerical Methods) ## 代数・離散数学 (Algebra, Discrete Mathematics) ### 東京大学工学教程 基礎系 数学 代数学 Algebra 不変的な工学知識をまとめた『東京大学工学教程』の一冊。数と式の取り扱いを出発点とし、その本質を抽象化、公理化して、より一般的な枠組みを構築する。このように考察対象を拡げて行く代数学の特性は、所望の目的を達成するための構造を新たに設計するという工学の基本的な方向性と相性が良く、特に、符号理論、暗号理論といった現代の情報通信技術の根幹となる分野で、その威力が発揮されている。本書では、代数系の基礎理論を丁寧に解説することによって、代数的な概念構成の手法を示し、より発展的な内容への準備を与える。 1\. 代数系 2\. 写像と関係 3\. 初等整数論 4\. 1変数多項式 5\. 群 6\. 環 7\. 体 8\. 多変数多項式 ### 東京大学工学教程 基礎系 数学 離散数学 現代の情報科学技術は，大量の離散データを処理する効率的なアルゴリズムの設計に依拠している．そこでは，連結性や階層構造といった対象間の関係を適切に捉える表現手段と正確な論理展開が求められる．アルゴリズムの数理的な基盤を与えるのが「離散数学」である．本書は，工学部生が学ぶことを念頭に，グラフ，論理関数，離散最適化など，情報科学技術と直接に関連する事項に重点を置きつつ，束や組合せ論的数え上げも含めた離散数学全般を広く扱っている． はじめに 1.　集　合 2.　グラフ 3.　2項関係 4.　束 5.　論理関数 6.　組合せ論的数え上げ 7.　グラフ: 発展 8.　離散最適化 参考文献 おわりに 索　引 ### Invitation to Discrete Mathematics ## 論理学(Logic) ### 論理と計算のしくみ(1,2,4章) はしがき 　 学習の手引き 第１章　集合と関係 　 §1.1　集合 　 §1.2　関係 第２章　命題論理と述語論理 　 §2.1　命題論理 　 §2.2　一階述語論理 　 §2.3　高階述語論理とその部分体系 ~~第３章 様相論理と直観主義論理 　 §3.1　命題様相論理 　 §3.2　多重様相論理 　 §3.3　時相論理 　 §3.4　命題直観主義論理~~ 第４章　計算可能性 　 §4.1　チューリング機械 　 §4.2　帰納的関数 　 §4.3　不完全性定理 　 §4.4　プレスバーガ算術 　 §4.5　述語論理の決定不能性と決定可能な部分体系 ~~第５章　λ計算 　 §5.1　λ項 　 §5.2　簡約 　 §5.3　型付きλ計算~~ ## 情報数学 (Information Mathematics) ### Logic and Structure (Chapters 1–3,7) ### Applied Abstract Algebra ## 形式言語 (Formal Languages) ### Introduction to Automata Theory, Languages, and Computations (Chapters1–7) ## プログラミング言語論(Programming Languages) ### Modern Compiler Implementation in ML ### Types and Programming Languages (Chapters 1–5, 8–9 and 22) ## 計算機アーキテクチャ(Computer Architecture) ### Computer Organization and Design ## オペレーティングシステム(Operating Systems) ### Operating System Concepts ## アルゴリズムと計算量 (Algorithms and Complexity) ### データ構造とアルゴリズム 第１章 アルゴリズムと計算量 １．１ アルゴリズムとは １．２ 計算量 第２章 基本的なデータ構造 ２．１ 配列とリスト ２．２ スタック ２．３ 待ち行列 ２．４ 木 第３章 集合の表現法 ３．１ 優先度付き待ち行列 ３．２ ２分探索木 ３．３ 平衡木 ３．４ ハッシュ ３．５ 集合群 第４章 整列（ソート） ４．１ バブルソート ４．２ クイックソート ４．３ マージソート ４．４ ヒープソート ４．５ バケットソート ４．６ 基数ソート 第５章 有向グラフ ５．１ ダイクストラのアルゴリズム ５．２ フロイドのアルゴリズム ５．３ 有向グラフの探索 ５．４ 強連結成分 第６章 無向グラフ ６．１ 最小木 ６．２ 関節点 第７章 文字列の検索 ７．１ 単純な方法 ７．２ ＫＭＰアルゴリズム ７．３ ＢＭアルゴリズム 第８章 設計法 ８．１ 分割統治法 ８．２ 動的計画法 ８．３ 欲張り法 ### 東京大学工学教程 情報工学 アルゴリズム Algorithms 情報技術は過去の半世紀において急速に発展したが、そのはじまりから今日にいたるまで、アルゴリズムは一貫して重要な根幹として存在し続けてきた。 どのような分野であれ、効率の良いプログラムを書く、効率の良いシステムを設計する、あるいはソフトウェアの動きを理解するなどにあたって、アルゴリズムの理解は避けて通ることはできないし、今後さらに情報技術が発展してもこのことは変わらないだろう。 本書は、情報科学・情報工学の初学者が学ぶべき特に重要で基本的なアルゴリズムとその概念を列挙。アルゴリズムの説明はなるべく簡明なものとし、それぞれのアルゴリズムの特に重要な要点を伝えるよう努めた。これらのアルゴリズムを理解し自分のものとすることができれば、現存するもの、これから登場するものを問わず、さまざまな情報技術を理解し、さらには今後の情報科学・情報工学へ貢献していくための素地となる教科書。 １　アルゴリズムと計算量 　１．１　アルゴリズムの記述法 　１．２　アルゴリズムの計算量 　１．３　その他のアルゴリズム評価指標 ２　基本的なデータ構造 　２．１　配列とリスト 　２．２　スタックとキュー 　２．３　ハッシュ ３　ソートアルゴリズム 　３．１　ソートと二分検索 　３．２　単純なソート法 　３．３　クイックソート 　３．４　マージソート 　３．５　ソートの計算量の下限 　３．６　バケットソートと基数ソート ４　木のデータ構造 　４．１　木とは 　４．２　木の走査 　４．３　ヒープ 　４．４　探索木 　４．５　ユニオン・ファインド木 　４．６　区間木 　４．７　k―Ｄ木 ５　グラフ・アルゴリズム 　５．１　グラフとは 　５．２　深さ優先探索と幅優先探索 　５．３　最短路 　５．４　最小全域木 　５．５　最大流 ６　文字列アルゴリズム 　６．１　文字列探索 　６．２　近似文字列マッチング 　６．３　文字列索引 　６．４　文字列圧縮 ７　アルゴリズムの設計戦略 　７．１　貪欲法 　７．２　動的計画法 　７．３　分割統治法 　７．４　乱択アルゴリズム 　７．５　数理計画法　 ８　組合せ最適化 　８．１　分枝限定法 　８．２　メタヒューリスティック ９　ゲーム探索 　９．１　ミニマックス法 　９．２　α―β法 　９．３　モンテカルロ探索法 ### ## グラフィクス (Graphics) ### Fundamentals of Computer Graphics # ## 機械学習 (Machine Learning) ### 統計的機械学習―生成モデルに基づくパターン認識 パターン認識の基礎 準備 識別関数の良さを測る規準 最尤推定法 最尤推定法の理論的性質 線形判別分析による手書き文字認識 最尤推定法におけるモデル選択 混合ガウスモデルの最尤推定 ベイズ推定法 ベイズ推定の数値計算法 ベイズ推定法におけるモデル選択 カーネル密度推定法 最近傍密度推定法 ### 東京大学工学教程 情報工学　機械学習 Machine Learning 本書は機械学習をテーマとしているが、特に統計学と最適化を基礎におく理論と手法について説明。ここで説明する手法はデータマイニングにおいてもしばしば利用されている。具体的には、教師データを用いた線形モデルによる分類や回帰、およびその発展形としてサポートベクターマシン、さらに１データごとの処理によって学習を行うオンライン学習を説明。次に教師データを用いないクラスタリング、および潜在変数がある場合の代表的な学習手法であるＥＭアルゴリズムについて説明。最後に解析的な処理が難しい場合に用いることが多いMarkov連鎖Monte Carlo法を紹介。 はじめに 第1章 機械学習の基礎概念 第2章 確率分布のパラメタ推定 第3章 線形モデル 第4章 過学習と予測性能 第5章 サポートベクターマシン 第6章 オンライン学習 第7章 クラスタリング 第8章 EMアルゴリズム 第9章 Markov連鎖Monte Carlo法 参考文献 おわりに 索引 ## 幾何・最適化 (Geometry, Optimization) ### 東京大学工学教程 基礎系 数学 最適化と変分法 １　最適化概論 　１．１　最適化問題とは 　１．２　最適解の概念 　１．３　理論の枠組み：凸計画，線形計画，非線形計画 　１．４　光学と最適化 　１．５　記号について ２　非線形計画 　２．１　無制約最適化 　２．２　等式制約下の最適化 　２．３　不等式制約下の最適化 　２．４　変分不等式 ３　双対理論 　３．１　凸集合と凸関数 　３．２　劣勾配 　３．３　分離定理 　３．４　Legendre変換と共役関数 　３．５　最適化条件 　３．６　双対問題 ４　線形計画 　４．１　線形計画問題 　４．２　双対問題 　４．３　単体法 　４．４　内点法 　４．５　凸２次計画問題とその解法 ５　半正定値計画 　５．１　半正定値計画問題 　５．２　双対性と内点法 　５．３　応用 　５．４　２次錐計画 ６　変分法 　６．１　変分問題 　６．２　変分法の基本事項 　６．３　拘束条件のある場合 　６．４　双対法 　６．５　解法 ### 東京大学工学教程 基礎系 数学 線形代数II 不変的な工学知識をまとめた『東京大学工学教程』の一冊。大学初年次では通常は取り扱われないが、理工学必須である非負、整数などのさまざまな条件下での線形代数の教科書。論理が正確に記述され、行列の具体的な表示（標準形）を通して理論を展開され、セルフコンテインドとなっている。各章は相互にほぼ独立しており、それぞれの興味に応じて読むことができる。理工学への応用可能性も触れられている。 １　行列とグラフ 　１．１　行列と有向グラフ 　１．２　行列と２部グラフ ２　非負行列 　２．１　非負行列 　２．２　Perron-Frobeniusの定理 　２．３　確率行列 　２．４　Ｍ行列 　２．５　二重確率行列 ３　線形不等式系 　３．１　線形不等式の形 　３．２　Fourier-Motzkinの消去法　 　３．３　線形不等式系の解の構造 　３．４　不等式系の解の構造 　３．５　線形計画法 ４　整数行列 　４．１　単模行列（ユニモジュラ行列） 　４．２　整数基本変形 　４．３　Hermite標準形 　４．４　Smith標準形（単因子標準形） 　４．５　線形方程式系の整数解 　４．６　線形不等式系の整数性 ５　多項式行列 　５．１　多項式行列とその例 　５．２　多項式の性質 　５．３　単模行列と基本変形 　５．４　Hermite標準形 　５．５　Smith標準形（単因子標準形） 　５．６　線形方程式系の解 　５．７　行列束　 ６　一般逆行列 　６．１　一般逆行列とは 　６．２　最小ノルム型一般逆行列 　６．３　最小２乗型一般逆行列 　６．４　Moore-Penrose型一般逆行列 　６．５　応用 ７　群表現論 　７．１　対称性をもつシステム 　７．２　対称性と群 　７．３　群表現の性質 　７．４　群対称性をもつ行列のブロック対角化 　７．５　指標 ### 東京大学工学教程 基礎系 数学 ベクトル解析 微積分をベクトル空間へと発展させたベクトル解析は力学、電磁気学、流体力学などにとって欠かせない方法論であるとともに、その概念は微分幾何学やトポロジーと自然に結びつく。本書は東京大学工学部で数学の講義を担当した執筆者たちによって、そのベクトル解析について主に場とそれらを関連づける微分演算子や、重要な積分定理を解説した一冊である。第１章で基盤となるベクトル空間について確認した後、第２章でスカラー場、ベクトル場、テンソル場を解説する。第３章では導入としてベクトル関数を見た後、第４章で微分演算子である勾配、発散、回転について述べる。第５章では線積分、面積分について直観的な定義で述べた後で厳密に定式化する。第６章では重要なStokesの定理やGaussの定理を、第７章では有用な諸公式を説明する。第８章では実践的な観点から座標変換を解説する。第９章では物理学でのいくつかの応用を紹介する。 １　ベクトル空間 　１．１　線形空間 　１．２　基底と成分表示 　１．３　内積と距離 　１．４　ベクトル積 　１．５　正射影 ２　スカラー場，ベクトル場，テンソル場 　２．１　場という考え方 　２．２　変換性 ３　ベクトル関数 　３．１　１変数のベクトル関数 　３．２　２変数のベクトル関数 ４　場の諸微分 　４．１　スカラー関数の勾配 　４．２　ベクトル場の発散 　４．３　ベクトル場の回転 ５　線積分，面積分 　５．１　２次元，３次元積分の復習 　５．２　線積分 　５．３　面積分 ６　積分定理 　６．１　Stokesの定理 　６．２　Greenの定理 　６．３　Gaussの定理 ７　ベクトル解析の諸公式とその応用 　７．１　ベクトル解析における有用な公式とその導出 　７．２　積分定理と微分公式の応用 　７．３　完全微分（ポテンシャル）の条件 　７．４　Helmholtzの分解定理 ８　座標変換と曲線座標系 　８．１　曲線座標 　８．２　直交曲線座標 　８．３　一般座標系での微分演算子 　８．４　さまざまな直交座標系 ９　ベクトル方程式の例 　９．１　古典力学から 　９．２　拡散方程式 　９．３　流体力学への応用 　９．４　電磁気学から ### 東京大学工学教程 基礎系 数学 微分幾何学とトポロジー 微分幾何学とトポロジーのいくつかの重要なテーマを微積分や線形代数、ベクトル解析などを前提として，直観的な理解や応用に重点をおき解説している。第１章では微分幾何学の基本的な道具である微分形式を導入する。第２章では直観が働きやすい曲線と曲面の微分幾何学を議論する。第３章では図形の一般化である多様体とその構造を導入し、第４章では多様体上の微分形式の積分としてStokesの定理を一般化する。第５章では、多様体の大域的性質を調べるホモロジーとコホモロジーについて述べ、代数学と微分構造の密接な関係を学ぶ。第６章では、多様体ファイバー束とその大域的な性質を特徴付ける特性類を調べる。第７章では、量子力学でも重要な指数定理とMorse理論を解説する。第８章では、もう一つの幾何学における代数的手法であるホモトピー理論の初歩について固体物理学の例を通して学ぶ。第９章ではカタストロフィー理論を紹介する。 １　微分形式 　１．１　pベクトル 　１．２　pベクトルの外積 　１．３　微分形式 　１．４　外微分 　１．５　微分形式の変換 　１．６　完全形式と閉形式 　１．７　星印作用素 　１．８　Poincaréの補題（Euclid空間の場合） ２　曲線と曲面の微分幾何学 　２．１　曲線 　２．２　曲面 ３　多様体 　３．１　多様体とは 　３．２　接空間 　３．３　Lie微分 　３．４　部分空間とFrobeniusの定理 　３．５　Lie群とLie代数 　３．６　Riemann幾何学 　３．７　ラプラシアンと調和形式 ４　多様体と積分 　４．１　単体 　４．２　多様体上の積分 　４．３　Stokesの定理 ５　ホモロジーとコホモロジー 　５．１　群論の準備 　５．２　ホモロジー群 　５．３　ホモロジー群の実例 　５．４　de Rhamコホモロジー理論 　５．５　Poincaréの補題とde Rhamの定理 　５．６　de Rhamコホモロジー群の例 ６　ファイバー束と特性類 　６．１　ファイバー束とは 　６．２　ファイバー束における接続と曲率 　６．３　特性類 ７　指数定理とMorse理論 　７．１　指数定理 　７．２　Morse理論 　７．３　量子力学 　７．４　超対称量子力学とMorse理論 ８　ホモトピー理論 　８．１　動機付け 　８．２　基本群 　８．３　秩序変数の欠陥の分類 　８．４　高次ホモトピー群 ９　カタストロフィー理論 　９．１　カタストロフィー理論の考え方 　９．２　Thomの定理と初等カタストロフィー ### 東京大学工学教程 基礎系 数学 非線形数学 不変的な工学知識をまとめた『東京大学工学教程』の一冊。自然界や社会現象に満ちあふれる非線形性を数学的にどう記述するかについて解説されている。体系化されていない「非線形」の領域に対する基本的な概念や考え方、模範的な技法がコンパクトに集約されている。１、２章で非線形数学の基礎的な事項をまとめ、３〜５章で３つの典型例（スケーリングとくりこみ群、分岐・アトラクター・カオス、非線形波動・ソリトン）を紹介する。 １　非線形数学へ向けた序説 　１．１　線形理論の概観 　１．２　非線形現象の原形 ２　基本となる方法 　２．１　トポロジー的方法 　２．２　解析学的方法 　２．３　代数学的方法 　２．４　幾何学的方法　 ３　スケーリングとくりこみ群 　３．１　問題の導入　相転移と臨界現象 　３．２　汎関数積分と鞍点法 　３．３　スケーリング仮説と異常次元 　３．４　くりこみ群 ４　分岐・アトラクター・カオス 　４．１　典型的な非線形方式 　４．２　平衡点の安定性 　４．３　分岐理論 　４．４　アトラクター 　４．５　カオス ５　非線形波動・ソリトン 　５．１　はじめに 　５．２　ソリトン理論 　５．３　Painlevéテスト 　５．４　ソリトン方程式の階層 　５．５　曲線の運動とソリトン 　５．６　超離散法