diff --git a/60.Momentum_diffusion_in_an_incompressible_fluid.md b/60.Momentum_diffusion_in_an_incompressible_fluid.md
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..bc815d72714e143d27eb1f6f55436f775af7fa68
--- /dev/null
+++ b/60.Momentum_diffusion_in_an_incompressible_fluid.md
@@ -0,0 +1,86 @@
+#### 60 不可压缩流体中的动量扩散
+##### 60.1 控制方程 
+在42.1节中讨论过不可压缩流体的控制方程
+$$
+\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \nabla(\mathbf{uu}) + \underbrace{\nabla\cdot(dev(\mathbf{R}^{eff}))}_{=div(dev(\mathbf{R}^{eff})} = -\nabla p + \mathbf{Q}
+$$
+
+$$
+\mathbf{R}^{eff} = -\nu_{eff}(\nabla\mathbf{u} + (\nabla\mathbf{u}^T))
+$$
+
+$$
+\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \nabla(\mathbf{uu}) + \nabla\cdot(dev(-{\nu}^{eff}(\nabla\mathbf{u} + (\nabla\mathbf{u}^T)))= -\nabla p + \mathbf{Q} 
+$$
+
+使用湍流模型来处理动量湍流项:
+$$
+\underbrace{\nabla\cdot(dev(\mathbf{R}^{eff}))}_{=div(dev(\mathbf{R}^{eff})} \quad  \Longleftrightarrow \quad \texttt{turbulance->divDevReff(U)}
+$$
+##### 60.2 功能实现
+OpenFOAM中所有的湍流模型都基于泛型湍流模型类。在57.10节的图134给出了类图。图中所示，所有的RAS湍流模型类与LES湍流模型类都是从同样的基类继承过来。OpenFOAM中的大量求解器都允许使用者选择层流模型或者RAS、LES湍流模型。因此，在写源代码的时候，没有人需要知道动量扩散项使用哪种湍流模型。
+
+因此为了克服这个问题，现代编程技术支持一种技术名为多态。在源代码中调用指令$\texttt{turbulence->divDevReff()}$计算扩散项。这条指令是调用对象$\texttt{turbulence}$的$\texttt{divDevReff()}$方法。
+
+```
+// Solve the Moment equation
+tmp<fvVectorMatrix> UEqn
+(
+  fvm::ddt(U)
+  + fvm::div(phi, U)
+  + turbulence->divDevReff(U)
+);
+
+UEqn().relax();
+
+source.constrain(UEqn());
+
+volScalarField rAU(1.0/UEqn().A());
+
+if (pimple.momentumPredictor())
+{
+  solve(UEqn() == -fvc::grad(p) + source(U));
+}
+```
+**Listing 482: *pimpleFoam*中的UEqn.H的文件**
+$\texttt{createFields.H}$文件中的源代码告诉我们，$\texttt{turbulence}$对象的数据类型是$\texttt{turbulenceModel}$
+```
+singlePhaseTransportModel laminarTransport(U, phi);
+
+autoPtr<incomressible::turbulenceModel> turbulence
+(
+  incompressible::turbulenceModel::New(U, phi, laminarTransport)
+);
+```
+**Listing 483: *pimpleFoam*中的createFields.H文件**
+在编译的时候，确保$\texttt{turbulence}$对象的数据类型为$\texttt{turbulenceModel}$。然而，$\texttt{turbulence}$的实际数据类型并不是$\texttt{turbulenceModel}$，而是从$\texttt{turbulenceModel}$继承的一种类型。只有在运行时确定了$\texttt{turbulence}$的实际数据类型，才能确定$\texttt{divDevReff()}$的实际调用方法。
+
+Listing 484给出了虚方法$\texttt{divDevReff()}$的声明。可以参考57.10节对虚方法的讨论。
+
+Listing 485给出了OpenFOAM中标准$k-\epsilon$湍流模型的具体实现。
+
+```
+//- Return the source term for the momentum equation
+virtual tmp<fvVectorMatrix> divDevReff(volVectorField& U) const = 0;
+```
+
+**Listing 484: *turbulenceModel.H*中的虚方法*divDevReff()*的声明**
+
+```
+tmp<fvVectorMatrix> kEpsilon::divDevReff(volVectorField& U) const
+{
+  return
+  (
+    - fvm::laplacian(nuEff(), U)
+	- fvc::div(nuEff()*dev(T(fvc::grad(U))))
+  );
+}
+```
+**Listing 485: *kEpsilon.H*文件中虚方法*divDevReff*的实现**
+
+$\texttt{divDevReff()}$的计算与公式79等价
+$$
+\texttt{divDevReff} = \nabla\cdot(dev(-\nu(\nabla{U} + (\nabla{U})^T)))\\
+= \underbrace{-\nabla\cdot(\nu(\nabla{U}))}_{\texttt{laplacian(nu,U)}}-\underbrace{\nabla\cdot(\nu(\nabla{U})^T)}_{\texttt{div(nu*dev(T(grad(U))))}}
+$$
+由于数值原因动量扩散项通常为分为两个部分。
\ No newline at end of file
diff --git a/61.The incompressible k-epsilon turbulence model.md b/61.The incompressible k-epsilon turbulence model.md
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..96574f0fdd8191e995a3a44828404e16068307c4
--- /dev/null
+++ b/61.The incompressible k-epsilon turbulence model.md	
@@ -0,0 +1,392 @@
+### 61 不可压缩$k-\epsilon$湍流模型
+
+#### 61.1 文献中的$k-\epsilon$湍流模型
+
+Wilcox[67]文献中给出单向流的$k-\epsilon$的控制方程
+
+涡粘方程:
+$$
+\mu_T=\rho C_{\mu}\frac{k^2}{\epsilon}
+$$
+湍动能:
+$$
+\rho\frac{\partial k}{\partial t}+\rho U_j\frac{\partial k}{\partial x_j} = \tau_{ij}\frac{\partial U_i}{\partial x_j} - \rho\epsilon+\frac{\partial}{\partial x_j}\left[(\mu+\frac{\mu_T}{\sigma_k})\frac{\partial k}{\partial x_j}\right]
+$$
+湍耗散：
+$$
+\rho\frac{\partial\epsilon}{\partial t} +\rho U_j\frac{\partial\epsilon}{\partial x_j} = C_{\epsilon 1}\frac{\epsilon}{k}\tau_{ij}\frac{\partial U_i}{\partial x_j}-C_{\epsilon 2}\rho\frac{\epsilon^2}{k}+\frac{\partial}{\partial x_j}\left[(\mu+\frac{\mu_T}{\sigma_k})\frac{\partial\epsilon}{\partial x_j}\right]
+$$
+封闭系数:
+$$
+C_{\epsilon 1} = 1.44, \quad C_{\epsilon 2} = 1.92, \quad C_{\mu} = 0.09, \quad \sigma_k=1.0, \quad \sigma_{\epsilon} = 1.3
+$$
+通过如下基本结构形式对$k$和$\epsilon$的输运方程重新组织:
+$$
+\textrm{local derivative + convection + diffusion = source & sink terms}
+$$
+湍动能:
+$$
+\rho\frac{\partial k}{\partial t}+\rho U_j\frac{\partial k}{\partial x_j}-\frac{\partial}{\partial x_j}\left[\underbrace{(\mu+\frac{\mu_T}{\sigma_k})}_{D_k}\frac{\partial k}{\partial x_j}\right]  =\underbrace{\tau_{ij}\frac{\partial U_i}{\partial x_j}}_{G} - \rho\epsilon
+$$
+湍耗散:
+$$
+\rho\frac{\partial\epsilon}{\partial t} +\rho U_j\frac{\partial\epsilon}{\partial x_j}-\frac{\partial}{\partial x_j}\left[\underbrace{(\mu+\frac{\mu_T}{\sigma_{\epsilon}})}_{D_{\epsilon}}\frac{\partial\epsilon}{\partial x_j}\right] = C_{\epsilon 1}\frac{\epsilon}{k}\underbrace{\tau_{ij}\frac{\partial U_i}{\partial x_j}}_{G}-C_{\epsilon 2}\rho\frac{\epsilon^2}{k}
+$$
+扩散系数:
+$$
+D_k = \mu + \frac{\mu_T}{\sigma_k}
+$$
+
+$$
+D_{\epsilon} = \mu + \frac{u_T}{\sigma_{\epsilon}}
+$$
+
+扩散项常数表达由扩散常数$D_k$和$D_{\epsilon}$合并组成。湍动能方程的右边第一项为湍动能生成$G$
+
+#### 61.2 OpenFOAM中$k-\epsilon$湍流模型
+
+###### 61.2.1 控制方程
+
+OpenFOAM中的$k-\epsilon$模型基本上与61.1节的控制方程相同。因为OpenFOAM语法以向量为主，所以本节以向量描述。OpenFOAM中某型有一定的修正。
+
+首先，$k$和 $\epsilon$的输运方程除以了密度$\rho$。因此，包含粘性的所有项使用运动粘度$\nu$而不是动力粘度$\mu$
+
+第二，OpenFOAM中的标准$k-\epsilon$模型取消了模型常数$\sigma_k$。使该常数取1，则该常数取消了。这种操作不会改变模型。然而，如果用户尝试改变模型常数，不会有任何效果。可参考32.4.2节的讨论和例子。
+
+最后，对流项根据微分规则分为两项。参考公式222。
+
+涡粘，参考Listing 486
+$$
+\mu_T = \rho\nu_T
+$$
+
+$$
+\nu_T = C_{\mu}\frac{k^2}{\epsilon}
+$$
+
+湍动能，参考Listing 487
+$$
+U_j\frac{\partial k}{\partial x_j} = \mathbf{U}\cdot\frac{\partial k}{\partial \mathbf{x}} = \mathbf{U}\cdot\nabla k
+$$
+
+$$
+\mathbf{U}\cdot\frac{\partial k}{\partial \mathbf{x}} = \nabla\cdot(\mathbf{U}k)-(\nabla\cdot\mathbf{U})k
+$$
+
+$$
+\frac{\partial k}{\partial t} + \nabla\cdot(\mathbf{U}k) - (\nabla\cdot\mathbf{U})k - \nabla\cdot(D_k\nabla k) = G - \epsilon 
+$$
+
+湍耗散：
+$$
+\frac{\partial \epsilon}{\partial t} + \nabla\cdot(\mathbf{U}\epsilon) - (\nabla\cdot\mathbf{U})\epsilon - \nabla\cdot(D_{\epsilon}\nabla\epsilon) = C_1G\frac{1}{k} - C_2\frac{\epsilon^2}{k}
+$$
+
+
+扩散常数$\sigma_k$通过下面方程可以消除:
+$$
+D_k = \texttt{DkEFF} = \nu + \nu_T
+$$
+
+$$
+D_{\epsilon} = \texttt{DepsilonEff} = \nu + \frac{\nu_T}{\sigma_\epsilon}
+$$
+
+封闭系数，默认值:
+$$
+C_{\epsilon 1} = 1.44, \quad C_{\epsilon 2} = 1.92, \quad C_{\mu} = 0.09, \quad \sigma_{\epsilon} = 1.3
+$$
+湍流模型类的构造函数中设置了模型常数的默认值。
+
+##### 61.2.2 源代码
+
+Listing 486给出了涡粘的计算代码。简短的代码可能会导致混淆，例如函数$sqr()$可能与平方根函数$sqrt()$的功能类似。
+
+Listing 487给出了涡粘的输运方程。方程右边最后一项进行了扩展。
+$$
+\epsilon = \underbrace{\frac{\epsilon}{k}{k}}_{\texttt{fvm::Sp(epsilon/k, k)}}
+$$
+
+
+```
+nut_ = Cmu_ * sqr(K_)/epsilon_
+```
+
+**Listing 486: 涡粘的计算**
+
+```
+tmp<fvScalarMatrix> kEqn
+(
+  fvm::ddt(k_)
+  + fvm::div(phi_, k_)
+  - fvm::Sp(fvc::div(phi_), k_)
+  - fvm::laplacian(DkEff(), k_)
+==
+  G
+  - fvm::Sp(epsilon_/k, k_)
+);
+```
+
+**Listing 487: 湍动能输运方程**
+
+##### 构造函数
+
+Listing488给出了$\texttt{kEpsilon}$类的构造函数第一行代码。该构造函数接收5个参数。分号后，为初始化列表。初始化列表包含模型常数的默认值。更多关于C++的细节可以参考56.5节。模型常数$C_{\mu}$在18行定义
+
+```
+kEpsilon::kEpsilon
+(
+  const volVectorField& U,
+  const surfaceScalarField& phi,
+  transportModel& transport,
+  const word& turbulenceModelName,
+  const word& modelName
+)
+:
+  RASModel(modelName, U, phi, transport, turbulenceModelName),
+  
+  Cmu_
+  (
+    dimensioned<scalar>::lookupOrAddToDict
+    (
+      "Cmu",
+      coeffDict_,
+      0.09
+    )
+  )
+  /* code continue */
+```
+
+**Listing 488: kEpsilon类的构造函数
+
+#### 61.3 $bubbleFoam$和$twoPhaseEulerFoam$中的$k-\epsilon$模型
+
+$bubbleFoam$和$twoPhaseEulerFoam$两个求解器中已经植入了$k-\epsilon$模型，所以不能像OpenFOAM中其他求解器一样使用广义湍流模型。
+
+关于色散两相流中的湍流模型仍然没有完全解答。但是有以下几种策略可供选择。
+
+**Per phase**，每一项流体使用各自独立的湍流模型
+
+**Mixture**，使用基于混合量的湍流模型。
+
+**Liquid Phase**，使用基于液相数量的湍流模型。对于色散项可以忽略或者使用常数。
+
+##### 61.3.1 控制方程
+
+$bubbleFoam$和$twoPhaseEulerFoam$中的$k-\epsilon$湍流模型在某些方面与OpenFOAM的标准$k-\epsilon$模型有区别
+
+1. 使用有效涡粘计算扩散常数。比较方程219，220和234，235
+2. 模型常数$\sigma_k$和$\sigma_{\epsilon}$用它们各自的对偶值代替。
+3. 与标准$k-\epsilon$模型不同，模型常数$\sigma_k$没有舍去。通过定义常数$\alpha_{1,k} = 1/\sigma_{k}$，来赋值$\sigma_{k}$
+
+$bubbleFoam$和$twoPhaseEulerFoam$使用的湍流模型基于液相数量。气项湍流模型使用模型常数$C_t$。该常数连接液相湍流粘度和气项。如果该常数设为0，则忽略气相湍流模型。
+
+涡粘
+$$
+\nu_{2,T} = C_{\mu}\frac{k^2}{\epsilon}
+$$
+
+$$
+\nu_{2,eff} = \nu_2 + \nu_{2,T}
+$$
+
+$$
+\nu_{1,eff} = \nu_{1} + C_t^2\nu_{2,T}
+$$
+
+湍动能，参考Listing487
+$$
+\frac{\partial k}{\partial t} + \nabla\cdot(\mathbf{U}_2k)-(\nabla\cdot\mathbf{U}_2)k-\nabla\cdot(\alpha_{1,k}\nu_{2,eff}\nabla k) = G - \epsilon
+$$
+
+$$
+\frac{\partial \epsilon}{\partial t} + \nabla\cdot(\mathbf{U}_2\epsilon)-(\nabla\cdot\mathbf{U}_2)\epsilon-\nabla\cdot(\alpha_{1,\epsilon}\nu_{2,eff}\nabla \epsilon) = C_1G\frac{1}{k} - C_2\frac{\epsilon^2}{k}
+$$
+
+扩散系数，注意不同定义
+$$
+\alpha_{1,k} = \frac{1}{\sigma_k}
+$$
+
+$$
+\alpha_{1,\epsilon} = \frac{1}{\sigma_{\epsilon}} 
+$$
+
+$$
+D_k=\alpha_{1,k}\nu_{2,eff}=\frac{\nu_{2,eff}}{\sigma_k}
+$$
+
+$$
+D_{\epsilon} = \alpha_{1,\epsilon}\nu_{2,eff} = \frac{\nu_{2,eff}}{\sigma_{\epsilon}}
+$$
+
+##### 61.3.2 源代码
+
+$bubbleFoam$和$twoPhaseEulerFoam$的输运方程其他内容可参考$\texttt{kEpsilon.H}$文件。Listing 489给出了$\texttt{kEpsilon.H}$文件中的重要代码。
+
+```
+tmp<volTensorField> tgradU2 = fvc::grad(U2);
+vosScalarField G(2*nut2*tgradU2() && dev(symm(tgradU2()))));
+
+// Dissipation equation
+fvScalarMatrix epsEqn
+(
+	fvm::ddt(epsilon)
+  + fvm::div(phi2, epsilon)
+  - fvm::Sp(fvc::div(phi2), epsilon)
+  - fvm::laplacian
+    (
+    alpha1Eps*nuEff2, epsilon,
+    "laplacian(DepsilonEff, epsilon)"
+    )
+  ==
+    C1*G*epsilon/k
+  - fvm::Sp(G2*epsilon/k, epsilon)
+);
+
+// Turbulence kinetic energy equation
+fvScalarMatrix eps
+(
+	fvm::ddt(k)
+  + fvm::div(phi2, k)
+  - fvm::Sp(fvc::div(phi2), k)
+  - fvm::laplacian
+    (
+    alpha1k*nuEff2, k,
+    "laplacian(DkEff, k)"
+    )
+  ==
+    G
+  - fvm::Sp(epsilon/k, k)
+);
+
+//- Re-calculate turbulence viscosity
+nut2 = Cmu*sqr(k)/epsilon;
+```
+
+**Listing 489: $bubbleFoam$和$twoPhaseEulerFoam$求解器的湍流输运方程**
+
+#### 61.4 湍动能生成模型
+
+在比较文献和源码中的湍流模型方程时，二者在湍动能生成定义上有着巨大的差别。
+
+##### 61.4.1 文献和源码的定义
+
+湍动能生成的定义不同。
+
+H.Rusche[54]的论文中，$bubbleFoam$和$twoPhaseEulerFoam$基于
+$$
+P_b = 2\nu_{2,eff}(\nabla\mathbf{U}_b\cdot \textrm{dev}(\nabla\mathbf{U}_b+(\nabla{U}_b)^T))
+$$
+源码-*bubbleFoam*对应的文件$\texttt{kEpsilon.H}$中，参考Listing 489的第二行
+$$
+G = 2\nu_T(\nabla\mathbf{U}_2:\textrm{dev(sym}(\nabla\mathbf{U}_2)))
+$$
+源码-标准$k-\epsilon$模型对应的文件$\texttt{kEpsilon.C}$中，
+$$
+G=2\nu_T[\textrm{sym}(\nabla\mathbf{U})]^2
+$$
+Ferzinger Peric[35]
+$$
+P = \mu_T\nabla\mathbf{U}:(\nabla\mathbf{U}+(\nabla\mathbf{U})^T)
+$$
+Wilcox[67]
+$$
+G=\mu_T\nabla\mathbf{U}:(\nabla\mathbf{U}+(\nabla\mathbf{U})^T) - \frac{2}{3}\rho k\mathbf{I}:\nabla\mathbf{U}
+$$
+有些定义使用动力粘度，有些使用运动粘度。对于不可压流动，这不是主要的区别。
+
+##### 61.4.2 粘度使用的差别
+
+方程237是唯一使用有效粘度代替湍流粘度的。具体原因此处不表。
+
+然而，在Fluent理论指南[7]中所描述那样，当对于$k-\epsilon$模型在高雷诺数的情况下，使用有效粘度计算生成项。但是指南也没有进一步指明什么是$k-\epsilon$模型的高雷诺数情况。
+
+##### 61.4.3 符号
+
+在61.4.1节定义使用向量形式描述相关内容。但是对于方程237，这样会有一点问题。
+$$
+P_b = 2\nu_{2,eff}(\nabla\mathbf{U}_b\cdot \textrm{dev}(\nabla\mathbf{U}_b+(\nabla{U}_b)^T))
+$$
+
+其中，点积符号并不是向量内积。从量纲角度看，除非点积符号表示缩并。因此，该公式应该为：
+$$
+P_b = 2\nu_{2,eff}(\nabla\mathbf{U}_b : \textrm{dev}(\nabla\mathbf{U}_b+(\nabla{U}_b)^T))
+$$
+
+##### 61.4.4 文献中的定义
+
+公式240和241的唯一差别为最后一项
+$$
+G=\mu_T\nabla\mathbf{U}:(\nabla\mathbf{U}+(\nabla\mathbf{U})^T) - \frac{2}{3}\rho k\mathbf{I}:\nabla\mathbf{U}
+$$
+使用下面等式，缩并可以用内积代替
+
+
+$$
+\mathbf{I}:\nabla\mathbf{U} = \textrm{tr}(\nabla\mathbf{U}) = \nabla\cdot\mathbf{U}
+$$
+对于不可压流体，通过连续性方程可以推出速度的散度为0
+$$
+\nabla \cdot\mathbf{U} = 0
+$$
+
+$$
+G=\mu_T\nabla\mathbf{U}:(\nabla\mathbf{U}+(\nabla\mathbf{U})^T) - \underbrace{\frac{2}{3}\rho k\mathbf{I}:\nabla\mathbf{U}}_{=0}
+$$
+所以对于不可压缩流动而言，方程240和241是相等的。那么现在我们可以方程240作为参考检验生成项定义的不同。
+
+##### 61.4.5 Rusche和*bubbleFoam*的定义
+
+*bubbleFoam*和*twoPhaseEulerFoam*求解器基于H.Rusche的论文。但是，它们生成项的定义不同。比较方程237和238
+$$
+P_b = 2\nu_{2,eff}(\nabla\mathbf{U}_b\cdot \textrm{dev}(\nabla\mathbf{U}_b+(\nabla{U}_b)^T))
+$$
+
+$$
+G = 2\nu_T(\nabla\mathbf{U}_2:\textrm{dev(sym}(\nabla\mathbf{U}_2)))
+$$
+
+我们忽视连续项速度符号的不同
+$$
+\mathbf{U}_2 = \mathbf{U}_b
+$$
+上述两个公式第二个缩并符号不同。可以问一句，下述公式是否成立
+$$
+\nabla\mathbf{U}_2:\textrm{dev(sym}(\nabla\mathbf{U}_2)) = \nabla\mathbf{U}_b\cdot \textrm{dev}(\nabla\mathbf{U}_b+(\nabla{U}_b)^T)
+$$
+如果有下述等式，上面这个问题很好回答
+$$
+\textrm{dev}(\mathbf{T}) = \mathbf{T} - \frac{1}{3}\textrm{tr}(\mathbf{T})
+$$
+
+$$
+\textrm{sym}(\mathbf{T}) = \frac{1}{2}(\mathbf{T} + (\mathbf{T})^T)
+$$
+
+$$
+\mathrm{dev(sym(\nabla\mathbf{U}_2))} = \mathrm{dev\bigg(\frac{1}{2}(\nabla\mathbf{U}_2 + (\nabla\mathbf{U}_2)^T)}\bigg)
+$$
+
+$$
+\mathrm{dev(sym(\nabla\mathbf{U}_2))} = \frac{1}{2}\mathrm{dev(\nabla\mathbf{U}_2 + (\nabla\mathbf{U}_2)^T)}
+$$
+
+$$
+\mathrm{dev(sym(\nabla\mathbf{U}_2))} = \underbrace{\frac{1}{2}\bigg(\mathrm{(\nabla\mathbf{U}_2 + (\nabla\mathbf{U}_2)^T)} - \frac{1}{3}\mathrm{tr}\mathrm{(\nabla\mathbf{U}_2 + \mathrm{(\nabla\mathbf{U}_2}})^T)\bigg)}_{=\mathrm{dev(\nabla\mathbf{U}_2 + (\nabla\mathbf{U}_2)^T)}}
+$$
+
+$$
+\mathrm{dev(sym(\nabla\mathbf{U}_2))} = \frac{1}{2}\mathrm{dev(\nabla\mathbf{U}_2 + (\nabla\mathbf{U}_2)^T)}
+$$
+
+这样就给出了答案
+$$
+\nabla\mathbf{U}_2:\textrm{dev(sym}(\nabla\mathbf{U}_2)) = \frac{1}{2}\nabla\mathbf{U}_b\cdot \textrm{dev}(\nabla\mathbf{U}_b+(\nabla\mathbf{U}_b)^T)
+$$
+从源代码的定义中可以发现有两种不同的生成项定义
+
+1. 使用不同的粘性系数，参考公式237和238
+2. 公式247和公式254差了2倍的系数。
+
+这个差异的原因不明。H. Rusche参考的文献不在有效。
\ No newline at end of file
diff --git "a/\347\277\273\350\257\221\347\253\240\350\212\202\350\256\244\351\242\206.md" "b/\347\277\273\350\257\221\347\253\240\350\212\202\350\256\244\351\242\206.md"
index c1f795ecf85592bdf9794d637ce84b353afc4939..099c859119f387160ee8fd07ee11dddb8c60466f 100644
--- "a/\347\277\273\350\257\221\347\253\240\350\212\202\350\256\244\351\242\206.md"
+++ "b/\347\277\273\350\257\221\347\253\240\350\212\202\350\256\244\351\242\206.md"
@@ -49,8 +49,8 @@
 ### 39 The fvOption framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . skf0558
 ### 40 The Lagrangian world 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . shujingshao
 ## V Solver 209 shujingshao
-### **41 Solution Algorithms 209
-### **42 pimpleFoam 212
+### **41 Solution Algorithms 209                                                                            
+### **42 pimpleFoam 212                                                                                  
 ### **43 rhoPimpleFoam 219
 ### **44 twoPhaseEulerFoam 220**
 ### **45 twoPhaseEulerFoam-2.3 226**
@@ -72,14 +72,14 @@
 ### 58 General remarks on OpenFOAM programming 340. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 ## IX Theory 345
 ### 59 **Discretization 345**. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . jesson Liu
-### 60 **Momentum diffusion in an incompressible fluid 348**
-### 61 **The incompressible k- turbulence model 349**
-### 62 **Some theory behind the scenes of LES 357**
-### 63 **The use of phi 362**
-### 64 **Derivation of the IATE diameter model 365**
-### 65 **Derivation of the MRF approach 376**
+### 60 **Momentum diffusion in an incompressible fluid 348**                                                        wangyang
+### 61 **The incompressible k- turbulence model 349*                                                             wangyang 
+### 62 **Some theory behind the scenes of LES 357**                                                               wangyang
+### 63 **The use of phi 362**                                                                                     wangyang
+### 64 **Derivation of the IATE diameter model 365**                                                              
+### 65 **Derivation of the MRF approach 376**                                                                     
 ## X Appendix 381
 ### 66 **Useful Linux commands 381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xfygogo
 ### 67 **Archive data 386  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xfygogo
 ## Bibliography 389
-## List of Abbreviations 392
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+## List of Abbreviations 392