<p align="center"> <a href="https://mp.weixin.qq.com/s/RsdcQ9umo09R6cfnwXZlrQ"><img src="https://img.shields.io/badge/PDF下载-代码随想录-blueviolet" alt=""></a> <a href="https://mp.weixin.qq.com/s/b66DFkOp8OOxdZC_xLZxfw"><img src="https://img.shields.io/badge/刷题-微信群-green" alt=""></a> <a href="https://space.bilibili.com/525438321"><img src="https://img.shields.io/badge/B站-代码随想录-orange" alt=""></a> <a href="https://mp.weixin.qq.com/s/QVF6upVMSbgvZy8lHZS3CQ"><img src="https://img.shields.io/badge/知识星球-代码随想录-blue" alt=""></a> </p> <p align="center"><strong>欢迎大家<a href="https://mp.weixin.qq.com/s/tqCxrMEU-ajQumL1i8im9A">参与本项目</a>,贡献其他语言版本的代码,拥抱开源,让更多学习算法的小伙伴们收益!</strong></p> # 第77题. 组合 题目链接:https://leetcode-cn.com/problems/combinations/ 给定两个整数 n 和 k,返回 1 ... n 中所有可能的 k 个数的组合。 示例: 输入: n = 4, k = 2 输出: [ [2,4], [3,4], [2,3], [1,2], [1,3], [1,4], ] 也可以直接看我的B站视频:[带你学透回溯算法-组合问题(对应力扣题目:77.组合)](https://www.bilibili.com/video/BV1ti4y1L7cv#reply3733925949) ## 思路 本题这是回溯法的经典题目。 直接的解法当然是使用for循环,例如示例中k为2,很容易想到 用两个for循环,这样就可以输出 和示例中一样的结果。 代码如下: ``` int n = 4; for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = i + 1; j <= n; j++) { cout << i << " " << j << endl; } } ``` 输入:n = 100, k = 3 那么就三层for循环,代码如下: ``` int n = 100; for (int i = 1; i <= n; i++) { for (int j = i + 1; j <= n; j++) { for (int u = j + 1; u <= n; n++) { cout << i << " " << j << " " << u << endl; } } } ``` **如果n为100,k为50呢,那就50层for循环,是不是开始窒息**。 **此时就会发现虽然想暴力搜索,但是用for循环嵌套连暴力都写不出来!** 咋整? 回溯搜索法来了,虽然回溯法也是暴力,但至少能写出来,不像for循环嵌套k层让人绝望。 那么回溯法怎么暴力搜呢? 上面我们说了**要解决 n为100,k为50的情况,暴力写法需要嵌套50层for循环,那么回溯法就用递归来解决嵌套层数的问题**。 递归来做层叠嵌套(可以理解是开k层for循环),**每一次的递归中嵌套一个for循环,那么递归就可以用于解决多层嵌套循环的问题了**。 此时递归的层数大家应该知道了,例如:n为100,k为50的情况下,就是递归50层。 一些同学本来对递归就懵,回溯法中递归还要嵌套for循环,可能就直接晕倒了! 如果脑洞模拟回溯搜索的过程,绝对可以让人窒息,所以需要抽象图形结构来进一步理解。 **我们在[关于回溯算法,你该了解这些!](https://mp.weixin.qq.com/s/gjSgJbNbd1eAA5WkA-HeWw)中说道回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构(N叉树),用树形结构来理解回溯就容易多了**。 那么我把组合问题抽象为如下树形结构:  可以看出这个棵树,一开始集合是 1,2,3,4, 从左向右取数,取过的数,不在重复取。 第一次取1,集合变为2,3,4 ,因为k为2,我们只需要再取一个数就可以了,分别取2,3,4,得到集合[1,2] [1,3] [1,4],以此类推。 **每次从集合中选取元素,可选择的范围随着选择的进行而收缩,调整可选择的范围**。 **图中可以发现n相当于树的宽度,k相当于树的深度**。 那么如何在这个树上遍历,然后收集到我们要的结果集呢? **图中每次搜索到了叶子节点,我们就找到了一个结果**。 相当于只需要把达到叶子节点的结果收集起来,就可以求得 n个数中k个数的组合集合。 在[关于回溯算法,你该了解这些!](https://mp.weixin.qq.com/s/gjSgJbNbd1eAA5WkA-HeWw)中我们提到了回溯法三部曲,那么我们按照回溯法三部曲开始正式讲解代码了。 ## 回溯法三部曲 * 递归函数的返回值以及参数 在这里要定义两个全局变量,一个用来存放符合条件单一结果,一个用来存放符合条件结果的集合。 代码如下: ``` vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合 vector<int> path; // 用来存放符合条件结果 ``` 其实不定义这两个全局遍历也是可以的,把这两个变量放进递归函数的参数里,但函数里参数太多影响可读性,所以我定义全局变量了。 函数里一定有两个参数,既然是集合n里面取k的数,那么n和k是两个int型的参数。 然后还需要一个参数,为int型变量startIndex,这个参数用来记录本层递归的中,集合从哪里开始遍历(集合就是[1,...,n] )。 为什么要有这个startIndex呢? **每次从集合中选取元素,可选择的范围随着选择的进行而收缩,调整可选择的范围,就是要靠startIndex**。 从下图中红线部分可以看出,在集合[1,2,3,4]取1之后,下一层递归,就要在[2,3,4]中取数了,那么下一层递归如何知道从[2,3,4]中取数呢,靠的就是startIndex。  所以需要startIndex来记录下一层递归,搜索的起始位置。 那么整体代码如下: ``` vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合 vector<int> path; // 用来存放符合条件单一结果 void backtracking(int n, int k, int startIndex) ``` * 回溯函数终止条件 什么时候到达所谓的叶子节点了呢? path这个数组的大小如果达到k,说明我们找到了一个子集大小为k的组合了,在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。 如图红色部分:  此时用result二维数组,把path保存起来,并终止本层递归。 所以终止条件代码如下: ``` if (path.size() == k) { result.push_back(path); return; } ``` * 单层搜索的过程 回溯法的搜索过程就是一个树型结构的遍历过程,在如下图中,可以看出for循环用来横向遍历,递归的过程是纵向遍历。  如此我们才遍历完图中的这棵树。 for循环每次从startIndex开始遍历,然后用path保存取到的节点i。 代码如下: ```C++ for (int i = startIndex; i <= n; i++) { // 控制树的横向遍历 path.push_back(i); // 处理节点 backtracking(n, k, i + 1); // 递归:控制树的纵向遍历,注意下一层搜索要从i+1开始 path.pop_back(); // 回溯,撤销处理的节点 } ``` 可以看出backtracking(递归函数)通过不断调用自己一直往深处遍历,总会遇到叶子节点,遇到了叶子节点就要返回。 backtracking的下面部分就是回溯的操作了,撤销本次处理的结果。 关键地方都讲完了,组合问题C++完整代码如下: ```C++ class Solution { private: vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合 vector<int> path; // 用来存放符合条件结果 void backtracking(int n, int k, int startIndex) { if (path.size() == k) { result.push_back(path); return; } for (int i = startIndex; i <= n; i++) { path.push_back(i); // 处理节点 backtracking(n, k, i + 1); // 递归 path.pop_back(); // 回溯,撤销处理的节点 } } public: vector<vector<int>> combine(int n, int k) { result.clear(); // 可以不写 path.clear(); // 可以不写 backtracking(n, k, 1); return result; } }; ``` 还记得我们在[关于回溯算法,你该了解这些!](https://mp.weixin.qq.com/s/gjSgJbNbd1eAA5WkA-HeWw)中给出的回溯法模板么? 如下: ``` void backtracking(参数) { if (终止条件) { 存放结果; return; } for (选择:本层集合中元素(树中节点孩子的数量就是集合的大小)) { 处理节点; backtracking(路径,选择列表); // 递归 回溯,撤销处理结果 } } ``` **对比一下本题的代码,是不是发现有点像!** 所以有了这个模板,就有解题的大体方向,不至于毫无头绪。 # 总结 组合问题是回溯法解决的经典问题,我们开始的时候给大家列举一个很形象的例子,就是n为100,k为50的话,直接想法就需要50层for循环。 从而引出了回溯法就是解决这种k层for循环嵌套的问题。 然后进一步把回溯法的搜索过程抽象为树形结构,可以直观的看出搜索的过程。 接着用回溯法三部曲,逐步分析了函数参数、终止条件和单层搜索的过程。 # 剪枝优化 我们说过,回溯法虽然是暴力搜索,但也有时候可以有点剪枝优化一下的。 在遍历的过程中有如下代码: ``` for (int i = startIndex; i <= n; i++) { path.push_back(i); backtracking(n, k, i + 1); path.pop_back(); } ``` 这个遍历的范围是可以剪枝优化的,怎么优化呢? 来举一个例子,n = 4,k = 4的话,那么第一层for循环的时候,从元素2开始的遍历都没有意义了。 在第二层for循环,从元素3开始的遍历都没有意义了。 这么说有点抽象,如图所示:  图中每一个节点(图中为矩形),就代表本层的一个for循环,那么每一层的for循环从第二个数开始遍历的话,都没有意义,都是无效遍历。 **所以,可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置**。 **如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了,那么就没有必要搜索了**。 注意代码中i,就是for循环里选择的起始位置。 ``` for (int i = startIndex; i <= n; i++) { ``` 接下来看一下优化过程如下: 1. 已经选择的元素个数:path.size(); 2. 还需要的元素个数为: k - path.size(); 3. 在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.size()) + 1,开始遍历 为什么有个+1呢,因为包括起始位置,我们要是一个左闭的集合。 举个例子,n = 4,k = 3, 目前已经选取的元素为0(path.size为0),n - (k - 0) + 1 即 4 - ( 3 - 0) + 1 = 2。 从2开始搜索都是合理的,可以是组合[2, 3, 4]。 这里大家想不懂的话,建议也举一个例子,就知道是不是要+1了。 所以优化之后的for循环是: ``` for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) // i为本次搜索的起始位置 ``` 优化后整体代码如下: ``` class Solution { private: vector<vector<int>> result; vector<int> path; void backtracking(int n, int k, int startIndex) { if (path.size() == k) { result.push_back(path); return; } for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) { // 优化的地方 path.push_back(i); // 处理节点 backtracking(n, k, i + 1); path.pop_back(); // 回溯,撤销处理的节点 } } public: vector<vector<int>> combine(int n, int k) { backtracking(n, k, 1); return result; } }; ``` # 剪枝总结 本篇我们准对求组合问题的回溯法代码做了剪枝优化,这个优化如果不画图的话,其实不好理解,也不好讲清楚。 所以我依然是把整个回溯过程抽象为一颗树形结构,然后可以直观的看出,剪枝究竟是剪的哪里。 ## 其他语言版本 Java: ```java class Solution { List<List<Integer>> result = new ArrayList<>(); LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>(); public List<List<Integer>> combine(int n, int k) { combineHelper(n, k, 1); return result; } /** * 每次从集合中选取元素,可选择的范围随着选择的进行而收缩,调整可选择的范围,就是要靠startIndex * @param startIndex 用来记录本层递归的中,集合从哪里开始遍历(集合就是[1,...,n] )。 */ private void combineHelper(int n, int k, int startIndex){ //终止条件 if (path.size() == k){ result.add(new ArrayList<>(path)); return; } for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++){ path.add(i); combineHelper(n, k, i + 1); path.removeLast(); } } } ``` Python: ```python3 class Solution: def combine(self, n: int, k: int) -> List[List[int]]: res=[] #存放符合条件结果的集合 path=[] #用来存放符合条件结果 def backtrack(n,k,startIndex): if len(path) == k: res.append(path[:]) return for i in range(startIndex,n+1): path.append(i) #处理节点 backtrack(n,k,i+1) #递归 path.pop() #回溯,撤销处理的节点 backtrack(n,k,1) return res ``` javascript ```javascript let result = [] let path = [] var combine = function(n, k) { result = [] combineHelper(n, k, 1) return result }; const combineHelper = (n, k, startIndex) => { if (path.length === k) { result.push([...path]) return } for (let i = startIndex; i <= n - (k - path.length) + 1; ++i) { path.push(i) combineHelper(n, k, i + 1) path.pop() } } ``` Go: ```Go var res [][]int func combine(n int, k int) [][]int { res=[][]int{} if n <= 0 || k <= 0 || k > n { return res } backtrack(n, k, 1, []int{}) return res } func backtrack(n,k,start int,track []int){ if len(track)==k{ temp:=make([]int,k) copy(temp,track) res=append(res,temp) } if len(track)+n-start+1 < k { return } for i:=start;i<=n;i++{ track=append(track,i) backtrack(n,k,i+1,track) track=track[:len(track)-1] } } ``` ----------------------- * 作者微信:[程序员Carl](https://mp.weixin.qq.com/s/b66DFkOp8OOxdZC_xLZxfw) * B站视频:[代码随想录](https://space.bilibili.com/525438321) * 知识星球:[代码随想录](https://mp.weixin.qq.com/s/QVF6upVMSbgvZy8lHZS3CQ) <div align="center"><img src=../pics/公众号.png width=450 alt=> </img></div>