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全课程有三个关键问题$$\begin{cases}① 基本信号及基本响应\②任意信号的分解\③LTI系统分析\end{cases}$$
阶跃函数
$\varepsilon(t)=lim_{n→∞}r_n(t)$=$$\begin{cases}0, t<0\1, t>0\end{cases}$$
性质：(1). 表示分段常亮信号
(2). 表示信号的作用区间
(3). 积分: $\int_{-∞}^{t}{\varepsilon(\tau)}d\tau=t\varepsilon(t)$
冲激函数
单位冲击函数是连续的奇异函数$$\begin{cases}\delta(t)=0, t\neq0\\int_{-∞}^{∞}{\delta(t)}dt=1\end{cases}$$
理解：高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲
$\delta(t)=\frac{d\varepsilon(t)}{dt}, \varepsilon(t)=\int_{-∞}^{t}{\delta(\tau)}dt$
作用：冲激函数可以描述间断点的导数
冲激函数的广义函数定义
$\int_{-∞}^{∞}{\delta(t)φ(t)}dt=φ(0)$
含义：冲激函数$\delta(t)$作用于检验函数$φ(t)$的结果是赋值为$φ(0)$,称为冲激函数的取样性质
冲激函数的取样性质
(1). $f(t)$乘以$\delta(t)$
$f(t)\delta(t)=f(0)\delta(t)$
$\int_{-∞}^{∞}f(t)\delta(t)dt=f(0)$
注：积分区间要包含冲激所在的时刻t=0
(2). $f(t)$乘以$\delta(t-a)$
$f(t)\delta(t-a)=f(a)\delta(t-a)$
$\int_{-∞}^{∞}f(t)\delta(t-a)dt=f(a)$
注：积分区间要包含冲激所在时刻t=a
(3). 冲激函数的导数
a. $\delta'(t)$（也称冲激偶）
$f(t)\delta'(t)=f(0)\delta'(t)-f'(0)\delta(t)$
$\delta'(t)的定义:\int_{-∞}^{∞}f(t)\delta'(t)dt=-f'(0)$
推广: $\int_{-∞}^{∞}f(t)\delta'(t-a)dt=-f'(a)$
b. $\delta^{(n)}(t):\int_{-∞}^{∞}f(t)\delta^{(n)}(t)dt=(-1)^nf^{(n)}(0)$
冲激函数的尺度变化
$\delta(at)$的定义 $\delta^{(n)}(at)=\frac{1}{|a|}\frac{1}{a^n}\delta^n(t)$ 特例: $\delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t)$
推广概念
a. $\delta(at-t_0)=\delta[a(t-\frac{t_0}{a})]=\frac{1}{|a|}\delta(t-\frac{t_0}{a})$
b. 当a=-1时，$\delta^{(n)}(-t)=(-1)^n\delta^{(n)}(t)$
$\delta(-t)=\delta(t)$为偶函数
$\delta'(-t)=-\delta'(t)$为奇函数
单位脉冲序列与单位阶跃序列
(通常，连续称函数，离散称序列)
(1). 单位脉冲序列$\delta(k)$
$\delta(k)=$$$\begin{cases}1, k=0\0, k\neq0\end{cases}$$
取样性质
$f(k)\delta(k)=f(0)\delta(k)$
$f(k)\delta(k-k_0)=f(k_0)\delta(k-k_0)$
$\sum_{k=-∞}^{∞}f(k)\delta(k)=f(0)$
(2). 单位阶跃序列$\varepsilon(k)$
$\varepsilon(k)=$$$\begin{cases}1,k≥0\0, k<0\end{cases}$$
(3). $\varepsilon(k)$与$\delta(k)$的关系
$\delta(k)=\varepsilon(k)-\varepsilon(k-1)$
$\varepsilon(k)=\sum_{i=-∞}^{∞}\delta(i)$或$\varepsilon(k)=\sum_{j=-∞}^{∞}\delta(k-j)$
信号的加减乘运算
$f_1(·)$和$f_2(·)$的加减乘指同一时刻两信号之值对应加减乘
信号的反转
将f(t)->f(-t), f(k)->f(-k)称为对信号f(·)的反转或反折，从图形上看是将f(·)以纵坐标为轴翻转180°
系统分类: 线性系统与非线性系统
a. 线性性质：齐次性，可加性
$af_1+bf_2\rightarrow ay_1+by_2$
b. 动态线性系统的判定条件
含有记忆元件（电容、电感等）的系统是动态系统，否则称即时系统或无记忆系统
全响应=零输入响应+零状态响应
需满足分解特性（可以将响应拆分为零输入响应和零状态响应，即不能乘在一起）和零状态响应($f(t)$)和零输入响应都必须满足线性（齐次性和可加性）
零状态响应：电路在零初始状态下，由激励引起的响应，一般f(t)表示
零输入响应：没有外加激励时，仅由t=0时刻的非零初始状态引起的响应，一般用$x(0)$表示
技巧：
$y'(t)+2y(t)=f'(t)-2f(t)$
常系数线性微分方程，就是线性时不变系统
$y'(t)+sinty(t)=f(t)$)
y(t)系数为变系数，如sint，则是线性时变系统
$y'(t)+[y(t)]^2=f(t)$
带平方的，所以是非线性时不变
$y'(k)+(k-1)y(k-1)=f(k)$
$k-1$是变系数，所以是线性时变
$y'(k)+y(k-1)y(k-2)=f(k)$
非齐次，所以是非线性，因为非齐次所以没y(k)这一项，也就没系数，自然是时不变
$y'(t)+2y(t)=f(-t)$
f(-t)，是时变
$y'(k)+3y(k-1)=2|f(k)|$
出现非线性，必是非线性
稳定性：输入有界且输出有界
因果性：
例：$y_{zs}(t)=|f(t)|$，当$t<t_0$时，$f(t)=0$，则此时有$y_{zs}(t)=|f(t)|=0$，故是因果系统
$y_{zs}(t)=f(-t)$，当$t<t_0$时，$f(t)=0$，则有$-t<t_0$，即$t>-t_0$时，$y_{zs}(t)=f(-t)=0$，所以是非因果系统
正弦序列有以下三种情况
(1). $\frac{2π}{\omega_0}$为整数时，k=1，正弦序列是以$\frac{2π}{\omega_0}$为周期的周期序列
(2). $\frac{2\pi}{\omega_0}$不是整数，是一个有理数时，设$\frac{2\pi}{\omega_0}=\frac{P}{Q}$，式中P、Q是互为素数的整数，取k=Q，那么，N=P，则改正弦序列是以P为周期的周期序列。
(3). $\frac{2\pi}{\omega_0}$是无理数，任何整数k都不能使N为正整数，因此此时的正弦序列不是同期序列
组合序列（相加），周期为两周期最小公约数。若无最小公约数，则为非周期序列。
$\pi$也是无理数，分段函数整体不是周期信号
信号的能量$E=\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt$
信号的功率$P=lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}|f(t)|^2dt$
若信号$f(t)$能量有界即$E<\infty$，则称能量有限信号，简称能量信号，此时$P=0$
若信号$f(t)$功率有界，即$P<\infty$，则称为功率有限信号，简称功率信号，此时$E=\infty$
对于离散信号
$E=\sum_{k=-\infty}^{\infty}|f(k)|^2<\infty$的离散信号，称能量信号
$P=\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1}{N}\sum_{k=-\frac{N}{2}}^{\frac{N}{2}}|f(k)|^2<\infty$的离散信号，称功率信号
时限信号（仅在有限时间区间内不为0的信号）为能量信号
周期信号属于功率信号。非周期信号可能是能量信号，也可能是周期信号
有些信号都不属于，比如$f(t)=e^t$
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