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沈拙言 / notebooks

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基本信号.md 6.37 KB
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沈拙言 authored 2020-11-25 22:22 . 于11-25 22:22:50上传

基本信号


全课程有三个关键问题$$\begin{cases}① 基本信号及基本响应\②任意信号的分解\③LTI系统分析\end{cases}$$


  1. 阶跃函数

    $\varepsilon(t)=lim_{n→∞}r_n(t)$=$$\begin{cases}0, t<0\1, t>0\end{cases}$$

    性质:(1). 表示分段常亮信号

    ​ (2). 表示信号的作用区间

    ​ (3). 积分: $\int_{-∞}^{t}{\varepsilon(\tau)}d\tau=t\varepsilon(t)$


  2. 冲激函数

    单位冲击函数是连续的奇异函数$$\begin{cases}\delta(t)=0, t\neq0\\int_{-∞}^{∞}{\delta(t)}dt=1\end{cases}$$

    理解:高度无穷大,宽度无穷小,面积为1的对称窄脉冲

    ​ $\delta(t)=\frac{d\varepsilon(t)}{dt}, \varepsilon(t)=\int_{-∞}^{t}{\delta(\tau)}dt$

    作用:冲激函数可以描述间断点的导数

    冲激函数的广义函数定义

    ​ $\int_{-∞}^{∞}{\delta(t)φ(t)}dt=φ(0)$

    ​ 含义:冲激函数$\delta(t)$作用于检验函数$φ(t)$的结果是赋值为$φ(0)$,称为冲激函数的取样性质

    冲激函数的取样性质

    (1). $f(t)$乘以$\delta(t)$

    ​ $f(t)\delta(t)=f(0)\delta(t)$

    ​ $\int_{-∞}^{∞}f(t)\delta(t)dt=f(0)$

    注:积分区间要包含冲激所在的时刻t=0

    (2). $f(t)$乘以$\delta(t-a)$

    ​ $f(t)\delta(t-a)=f(a)\delta(t-a)$

    ​ $\int_{-∞}^{∞}f(t)\delta(t-a)dt=f(a)$

    注:积分区间要包含冲激所在时刻t=a

    (3). 冲激函数的导数

    ​ a. $\delta'(t)$(也称冲激偶)

    ​ $f(t)\delta'(t)=f(0)\delta'(t)-f'(0)\delta(t)$

    ​ $\delta'(t)的定义:\int_{-∞}^{∞}f(t)\delta'(t)dt=-f'(0)$

    ​ 推广: $\int_{-∞}^{∞}f(t)\delta'(t-a)dt=-f'(a)$

    ​ b. $\delta^{(n)}(t):\int_{-∞}^{∞}f(t)\delta^{(n)}(t)dt=(-1)^nf^{(n)}(0)$

    冲激函数的尺度变化

     $\delta(at)$的定义	$\delta^{(n)}(at)=\frac{1}{|a|}\frac{1}{a^n}\delta^n(t)$

    ​ 特例: $\delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t)$

    ​ 推广概念

    ​ a. $\delta(at-t_0)=\delta[a(t-\frac{t_0}{a})]=\frac{1}{|a|}\delta(t-\frac{t_0}{a})$

    ​ b. 当a=-1时,$\delta^{(n)}(-t)=(-1)^n\delta^{(n)}(t)$

    ​ $\delta(-t)=\delta(t)$为偶函数

    ​ $\delta'(-t)=-\delta'(t)$为奇函数


  3. 单位脉冲序列与单位阶跃序列

    (通常,连续称函数,离散称序列)

    (1). 单位脉冲序列$\delta(k)$

    ​ $\delta(k)=$$$\begin{cases}1, k=0\0, k\neq0\end{cases}$$

    ​ 取样性质

    ​ $f(k)\delta(k)=f(0)\delta(k)$

    ​ $f(k)\delta(k-k_0)=f(k_0)\delta(k-k_0)$

    ​ $\sum_{k=-∞}^{∞}f(k)\delta(k)=f(0)$

    (2). 单位阶跃序列$\varepsilon(k)$

    ​ $\varepsilon(k)=$$$\begin{cases}1,k≥0\0, k<0\end{cases}$$

    (3). $\varepsilon(k)$与$\delta(k)$的关系

    ​ $\delta(k)=\varepsilon(k)-\varepsilon(k-1)$

    ​ $\varepsilon(k)=\sum_{i=-∞}^{∞}\delta(i)$或$\varepsilon(k)=\sum_{j=-∞}^{∞}\delta(k-j)$


  4. 信号的加减乘运算

$f_1(·)$和$f_2(·)$的加减乘指同一时刻两信号之值对应加减乘

  1. 信号的反转

    将f(t)->f(-t), f(k)->f(-k)称为对信号f(·)的反转或反折,从图形上看是将f(·)以纵坐标为轴翻转180°


  2. 系统分类: 线性系统与非线性系统

    a. 线性性质:齐次性,可加性

    ​ $af_1+bf_2\rightarrow ay_1+by_2$

    b. 动态线性系统的判定条件

    ​ 含有记忆元件(电容、电感等)的系统是动态系统,否则称即时系统或无记忆系统

    全响应=零输入响应+零状态响应


    系统的线性判断

    需满足分解特性(可以将响应拆分为零输入响应和零状态响应,即不能乘在一起)和零状态响应($f(t)$)和零输入响应都必须满足线性(齐次性和可加性)

    ​ 零状态响应:电路在零初始状态下,由激励引起的响应,一般f(t)表示

    ​ 零输入响应:没有外加激励时,仅由t=0时刻的非零初始状态引起的响应,一般用$x(0)$表示

    技巧

    $y'(t)+2y(t)=f'(t)-2f(t)$

    ​ 常系数线性微分方程,就是线性时不变系统

    $y'(t)+sinty(t)=f(t)$)

    ​ y(t)系数为变系数,如sint,则是线性时变系统

    $y'(t)+[y(t)]^2=f(t)$

    ​ 带平方的,所以是非线性时不变

    $y'(k)+(k-1)y(k-1)=f(k)$

    ​ $k-1$是变系数,所以是线性时变

    $y'(k)+y(k-1)y(k-2)=f(k)$

    ​ 非齐次,所以是非线性,因为非齐次所以没y(k)这一项,也就没系数,自然是时不变

    $y'(t)+2y(t)=f(-t)$

    ​ f(-t),是时变

    $y'(k)+3y(k-1)=2|f(k)|$

    ​ 出现非线性,必是非线性

稳定性:输入有界且输出有界

因果性

​ 例:$y_{zs}(t)=|f(t)|$,当$t<t_0$时,$f(t)=0$,则此时有$y_{zs}(t)=|f(t)|=0$,故是因果系统

​ $y_{zs}(t)=f(-t)$,当$t<t_0$时,$f(t)=0$,则有$-t<t_0$,即$t>-t_0$时,$y_{zs}(t)=f(-t)=0$,所以是非因果系统


正弦序列有以下三种情况

(1). $\frac{2π}{\omega_0}$为整数时,k=1,正弦序列是以$\frac{2π}{\omega_0}$为周期的周期序列

(2). $\frac{2\pi}{\omega_0}$不是整数,是一个有理数时,设$\frac{2\pi}{\omega_0}=\frac{P}{Q}$,式中P、Q是互为素数的整数,取k=Q,那么,N=P,则改正弦序列是以P为周期的周期序列。

(3). $\frac{2\pi}{\omega_0}$是无理数,任何整数k都不能使N为正整数,因此此时的正弦序列不是同期序列

组合序列(相加),周期为两周期最小公约数。若无最小公约数,则为非周期序列。

$\pi$也是无理数,分段函数整体不是周期信号


信号的能量$E=\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt$

信号的功率$P=lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}|f(t)|^2dt$

若信号$f(t)$能量有界即$E<\infty$,则称能量有限信号,简称能量信号,此时$P=0$

若信号$f(t)$功率有界,即$P<\infty$,则称为功率有限信号,简称功率信号,此时$E=\infty$

对于离散信号

​ $E=\sum_{k=-\infty}^{\infty}|f(k)|^2<\infty$的离散信号,称能量信号

​ $P=\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1}{N}\sum_{k=-\frac{N}{2}}^{\frac{N}{2}}|f(k)|^2<\infty$的离散信号,称功率信号

时限信号(仅在有限时间区间内不为0的信号)为能量信号

周期信号属于功率信号。非周期信号可能是能量信号,也可能是周期信号

有些信号都不属于,比如$f(t)=e^t$


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