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沈拙言 / notebooks

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连续系统的时域分析.md 11.57 KB
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沈拙言 authored 2020-11-25 22:22 . 于11-25 22:22:50上传

第二章:连续系统的时域分析

LIT连续系统的响应

​ 连续系统的描述:电路图建立微分方程

​ 1. 数学模型

605537114623

​ 图示RLC电路,以$u_s(t)$作激励,以$u_c(t)$作响应,由KVL和VAR列方程,并整理得$\begin{cases}LC\frac{d^2u_c}{dt^2}+RC\frac{du_c}{dt}+u_c=u_s\u_c(0_+),u'c(0_+)\end{cases}$

​ 抽去具有的物理含义,微分方程写成

​ $a_2\frac{d^2y(t)}{dt^2}+a_1\frac{dy(t)}{dt}+a_0y(t)=f(t)$

  1. 系统框图

    例1:

    image-20201119163517581

    (1). 左边加法器方程: $f(t)-3x'(t)-2x(t)=x''(t)$

    ​ 整理方程: $f(t)=x''(t)+3x'(t)+2x(t)$

    (2). 右边加法器方程: $y(t)=4x'(t)+x(t)$

    ​ 综合整理:$y''(t)+3y'(t)+2y(t)=4f'(t)+f(t)$

    例2:

    image-20201119164848244

    ​ 电容VCR :$i=C\frac{du}{dt}$ 电感VCR :$u=L\frac{di}{dt}$

    ​ 列写电路的KVL方程: $u_L+u_R+u_C=U_s$

    ​ 其中: $u_R=iR=RC\frac{du_C}{dt}$

    ​ $u_L=LC\frac{du_C}{dt^2}$

    ​ 整理得: $LC\frac{d^2u_C}{dt^2}+RC\frac{du_C}{dt}+u_C=u_S$


齐次解——自由响应;特解——强迫响应


系统的初始值

初始值(初始条件)是n阶系统在t=0时接入激励,其响应在$t=0_+$时刻的值,(由初始状态和外加激励共同确定)即$y^{(j)}(0_+)(j=0,...,n-1)$

初始状态是指系统在激励尚未接入的$t=0_-$时刻的响应值$y^{(j)}(0_-)$,该值反映了系统的历史情况,而与激励无关

​ 因为激励加入,从$y^{j}(0_-)到y^{j}(0_+)$可能会存在跳变。

​ 冲激平衡法:用来确定跳变。方程两端含$\delta(t)$及其倒数应保持平衡

​ 初始条件=初始状态+跳变量

​ 为求解微分方程,需要从已知的初始状态$y^{(j)}(0_-)$求得$y^{(j)}(0_+)$

​ 结论:微分方程等号右端含有$\delta(t)$时,仅在等号左端$y(t)$的最高阶倒数中含有$\delta(t)$,则$y(t)$的次高阶跃变,其余连续;若右端不含冲激函数,则不会跃变。

例:$y''(t)+4y'(t)+3y(t)=e''(t)+2e'(t)+e(t), $

$e(t)=\varepsilon(t),y(0_-)=0,y'(0_-)=1,试求y(0_+),y'(0_+)$

解: $y''(t)+4y'(t)+3y(t)=\delta'(t)+2\delta(t)+\varepsilon(t)$

y''(t) $^①\delta'(t)^⑤-2\delta(t)$ $y''(t)$ $^②\delta'(t)^⑥-2\delta(t)$
$4y('t)$ $^④4\delta(t)$ $y'(t)$ $^③\delta(t)^⑦-2\varepsilon(t)$
$3y(t)$ $y(t)$ $\varepsilon(t)$

表格右半部分就是我们想要的结果

$y'(0_+)=y'(0_-)-2=1-2=-1$

$y(0_+)=y(0_-)+1=0+1=1$


零输入响应和零状态响应

  1. 零输入响应:激励e(t)=0, 仅由初始状态引起的响应,对应数学模型为齐次方程,形式由特征根决定。

    以特征根无重根为例: $y_{zi}(t)=C_{x_1}e^{\lambda_1t}+...+C_{x_n}e^{\lambda_nt}=\sum_{i=1}^nC_{x_i}e^{\lambda_it},t≥0$

    初始状态=初始条件:$y^{(j)}(0_+)=y^{(j)}(0_-)\rightarrow确定系数C_{x_1}...C_{x_n}$

  2. 零状态响应:$y^{j}(0_-)=0$,仅由激励e(t)引起的响应,对应的数学模型为非齐次方程,由齐次解和特解组成

    以特征根无重根为例:

    $y_{zs}(t)=C_{s_1}e^{\lambda_1t}+...+C_{s_n}e^{\lambda_nt}+y_p(t)=\sum_{i=1}^nC_{s_i}e^{\lambda_it}+y_p(t),t>0$

    $y^{(j)}(0_-)=0,则y_{zs}^{(j)}(0_+)=跳变量\rightarrow 确定系数 C_{s_1}...C_{s_n}$

    1. 全响应:由初始状态和激励共同确定的响应

    对应的数学模型是非齐次方程,由齐次解和特解组成

    $y(t)=y_h(t)+y_p(t)$

    $=\sum_{i=1}^nC_ie^{\lambda_it}+y_p(t)$

    $=\sum_{i=1}^nC_{x_i}e^{\lambda_it}+\sum_{i=1}^nC_{s_i}e^{\lambda_it}+y_p(t)$

    即 $C_i=C_{x_i}+C_{s_i}$

    全响应的初始条件=初始状态+跳变量

    零输入状态初始条件=初始状态+0

    零状态响应初始条件=0+跳变量

例: 已知连续LTI系统微分方程 $y''(t)+3y'(t)+2y(t)=2\delta'(t)+6\varepsilon(t)$

​ 已知$y(0_-)$=1, $y'(0_-)=3$,求$y_{zi}(t),y_{zs}(t),y(t)$

解:(1) $y_{zi}(t). 特征方程\lambda^2+3\lambda+2=0\Rightarrow \lambda_1=-1,\lambda_2=-2$

​ $y_{zi}(t)=C_{x_1}e^{-t}+C_{x_2}e^{-2t},t≥0$

​ $\begin{cases} y_{zi}(0_+)=C_{x_1}+C_{x_2}=y(0_-)=1 \ y_{zi}'(0_+)=-C_{x_1}-2C_{x_2}=y'(0_-)=3\end{cases}$

​ $\Rightarrow\begin{cases}C_{x_1}=5 \ C_{x_2}=-4 \end{cases}g(t):g''(t)+5g'(t)+6g(t)=\delta'(t)+2\delta(t)$

​ $y_{zi}(t)=5e^{-t}-4e^{-2t},t≥0$

​ (2) $y_{zs}(t)=C_{s_1}e^{-t}+C_{s_2}e^{-2t}+y_p(t), t>0$;

​ 设特解$y_p(t)=p,t>0;$

​ $2p=6,p=3;则y_p(t)=3,t>0$

y''(t) $2\delta'(t)^-6\delta(t)$ $y''(t)$ $2\delta'(t)-6\delta(t)$
$3y('t)$ $6\delta(t)$ $y'(t)$ $2\delta(t)-6\varepsilon(t)$
$2y(t)$ $y(t)$ $2\varepsilon(t)$

​ $\begin{cases} y'(0_+)=0-6=-6 \ y(0_+)=0+2=2 \end{cases}$

​ $\begin{cases}y_{zs}(0_+)=C_{S_1}+C_{s_2}+3=2 \ y_{zs}'(0_+)=-C_{s_1}-2C_{s_2}=-6 \end{cases} \Rightarrow\begin{cases} C_{s_1}=-8 \ C_{s_2}=7\end{cases}$

​ $y_{zs}(t)=(-8e^{-t}+7e^{-2t}+3),t>0$

  1. 全响应$y(t)=y_{zi}(t)+y_{zs}(t)=(3e^{-2t}+3e^{-t}+3)\varepsilon(t),t>0$

根据微分方程求解初始状态

​ 例 某系统微分方程为$y''(t)+3y'(t)+2y(t)=3f'(t)+4f(t)$

image-20201122093253180

在包含零状态的题中,建议使用S域求解

image-20201122095152594


冲激响应与阶跃响应

  1. 冲激响应:$e(t)=\delta(t)$时,系统的零状态响应$h(t)$

    $\sum_{i=0}^{n}a_ih^{(i)}(t)=\sum_{j=0}^{m}b_j\delta^{(j)}(t)$, t>0时,方程右边为0,h(t)形式与齐次解相同(本质:$y_p(t)=0$,t>0,不要混淆与零状态响应,因为零状态响应的右边有可能是$\varepsilon(t),此时右边就不是0了$)

    以特征无重根为例:

    ​ (1) n>m时, $h(t)=\sum_{i=1}^{n}C_ie^{\lambda_it}\varepsilon(t)$,与齐次解形式相同

    ​ (2) n=m时, $h(t)=C_0\delta(t)+\sum_{i=1}^{n}C_ie^{\lambda_i(t)}\varepsilon(t)$

    ​ (3) n<m时,

    $h(t)=C_0\delta(t)+C_1\delta'(t)+..+C_{m-n}\delta^{(m-n)}(t)+\sum_{i=1}^{n}C_ie^{\lambda_it}\varepsilon(t)$

    系统的初始状态为0,初始条件=跳变量 (使用冲激平衡法)

  2. 阶跃响应:$e(t)=\varepsilon(t)$时,系统的零状态响应$g(t)$。

    $\sum_{i=0}^{n}g^{(i)}(t)=\sum_{j=0}^{m}b_j\ \varepsilon^{(j)}(t)。e(t)=\varepsilon(t)$时,方程右边包含阶跃函数,冲激函数及其导数.

    g(t)的形式与非齐次方程解的形式相同,含齐次解,特解

    初始状态为0,初始条件=跳变量(使用冲激平衡法)

  3. h(t)与g(t)的关系:

    $\delta(t)=\varepsilon'(t),\varepsilon(t)=\int_{-\infty}^{t}\delta(x)dx$

    $h(t)=\frac{d}{dt}g(t),g(t)=\int_{-\infty}^{t}h(x)dx$

例:已知某一连续系统微分方程$y''(t)+5y'(t)+6y(t)=e''(t)+2e'(t),求h(t),g(t)$

​ 解:(1)求h(t), $h''(t)+5h'(t)+6h(t)=\delta''(t)+2\delta'(t),n=m=2$

$\lambda^2+5\lambda+6=0,\lambda_1=-2,\lambda_2=-3$

$∴h(t)=C_0\delta(t)+C_1e^{-2t}+C_2e^{-3t},t>0$

$y''(t):\delta''(t)-3\delta'(t)+9\delta(t)$ $y''(t):\delta''(t)-3\delta'(t)+9\delta(t)$

$5y'(t): 5\delta'(t)-15\delta(t)$ $y'(t):\delta'(t)-3\delta(t)+9\varepsilon(t)$

$6y(t):6\delta(t)$ $y(t):\delta(t)-3\varepsilon(t)$

$\begin{cases}h'(0_+)=0+9=9 \ h(0_+)=0-3=-3\end{cases}$

$h(t)=\delta(t)+C_1e^{-2t}+C_2e^{-3t},t>0$

$\begin{cases}h'(0_+)=-2C_1-3C_2=9 \ h(0_+)=C_1+C_2=-3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}C_1=0 \ C_2=-3 \end{cases}$

$h(t)=\delta(t)-3e^{-3t}\varepsilon(t)$

求$g(t):g''(t)+5g'(t)+6g(t)=\delta'(t)+2\delta(t)$

​ $g(t)=C_1e^{-2t}+C_2e^{-3t}+y_p(t),t>0,y_p(t)=0$

冲激平衡法略

$\begin{cases}g(0_+)=0+1=1 \ g'(0_+)=0-3=-3\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}g(0_+)=C_1+C_2=1 \ g'(0_+)=-2C_1-3C_2=-3\end{cases}$

$\begin{cases}C_1=0 \ C_2=1\end{cases};g(t)=e^{-3t}\varepsilon(t)$

$g(t)=e^{-3t}\varepsilon(t)\rightarrow\frac{d}{dt}[g(t)]=\delta(t)-3e^{-3t}\varepsilon(t)=h(t)$


卷积积分

  1. 定义: $f(t)=f_1(t)*f_2(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau$

    讨论:(1). 若$f_1(t)$为因果信号且$f_2(t)$无限制,则

    $f_1(t)*f_2(t)=\int_{0}^{+\infty}f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau,t>0$

    (2). 若$f_1(t)$无限制,$f_2(t)$为因果信号,则$f_1(t)*f_2(t)=\int_{-\infty}^{t}f_1(t)f_2(t-\tau)d\tau$

    (3). 若$f_1(t),f_2(t)$均为因果信号,则$f_1(t)*f_2(t)=\int_{0}^{t} f_1(t)f_2(t-\tau)d\tau$

    例:求卷积积分

    (1). $e^{-2t}\varepsilon(t)*\varepsilon(t)$

    ​ $=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-2\tau}\varepsilon(\tau)\varepsilon(t-\tau)d\tau$

    ​ $=\int_{0}^{t}e^{-2\tau}d\tau$

    ​ $=[-\frac{1}{2}e^{-2\tau}]_{0}^{t}$

    ​ $=\frac{1}{2}(1-e^{-2t})\varepsilon(t)$

    (2). $e^{-t}*^{-2t}\varepsilon(t)=\int_{-\infty}^{t}e^{-\tau}e^{-2(t-\tau)}d\tau$

    ​ $=e^{-2t}\int_{-\infty}^{t}e^{-\tau}e^{2\tau}d\tau$

    ​ $=e^{-2t}\int_{-\infty}^{t}e^\tau d\tau$

    ​ $=e^{-t}$(无时域限制)

  2. 图解法,因为不实用,略,视频第二讲第三节十分钟20秒

  3. 利用卷积求系统的零状态响应

    f(t)---->若干冲激信号的线性组合

    (1).连续信号的时域分解

    ​ $f(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau$

    ​ $=f(t)*\delta(t)$

    (2). 连续时间系统的零状态响应

    ​ $f(t)=f(t)*\delta(t)\Rightarrow y_{zs}(t)=e(t)*h(t)$

  4. 卷积积分的性质:

    ​ (1).代数运算性质:①交换律$f_1(t)*f_2(t)=f_2(t)*f_1(t)$

    ​ ②结合律$[f_1(t)*f_2(t)]f_3(t)=f_1(t)[f_2(t)*f_3(t)]$

    ​ (级联系统冲激响应等于子系统冲激响应卷积)

    ​ $y_{zs}(t)=[e(t)*h_1(t)]h_2(t)=e(t)[h_1(t)*h_2(t)]$ 等效分析

    ​ ③分配率$f_1(t)*[f_2(t)+f_3(t)]=f_1(t)*f_2(t)+f_1(t)*f_3(t)$

    ​ 并联系统的冲激响应等于子系统冲激响应之和

    ​ $y_{zs}(t)=e(t)*[h_1(t)+h_2(t)]=e(t)*h_1(t)+e(t)*h_2(t)$

    ​ (2). 函数与冲激函数的卷积

    ​ $f(t)\delta(t)=f(t)$ $f(t)\delta(t-t_0)=f(t-t_0)$

    ​ (3). 卷积的微分积分性质

    ​ ①微分性质 $[f_1(t)*f_2(t)]'=f'_1(t)*f_2(t)=f_1(t)*f_2'(t)$

    ​ ②积分性质 $\int_{-\infty}^{t}f_1(x)f_2(x)dx=\int_{-\infty}^{t}f_1(x)dxf_2(t)=f_1(t)*\int_{-\infty}^{t}f_2(x)dx$

    ​ $f(t)\delta'(t)=f'(t)\delta(t)=f'(t)$

    ​ $f(t)\varepsilon(t)=f(t)\int_{-\infty}^t\delta(x)dx=\int_{-\infty}^tf(x)dx*\delta(t)=\int_{-\infty}^{t}f(x)dx$

    ​ ③微积分性质:$f_1(t)f_2(t)=f_1'(t)\int_{-\infty}^{t}f_2(x)dx=\int_{-\infty}^{t}f_1(x)dx*f_2'(t)$

    ​ (4). 时移特性

    ​ $y(t)=f_1(t)*f_2(t),y(t-t_0)=f_1(t-t_0)*f_2(t)=f_1(t)*f_2(t-t_0)$

    $y(t-t_1-t_2)=f_1(t-t_1)*f_2(t-t_2)=f_1(t-t_2)*f_2(t-t_1)$

    ​ 卷积的说明:1)积分限取决于波形重叠的范围

    ​ 2)卷积结果的时宽等于两个函数时宽的总和

    例:已知$f_1(t)=e^{-2t}\varepsilon(t+1) , f_2(t)=\varepsilon(t-3),且e^{-2t}\varepsilon(t)*\varepsilon(t)=\frac{1}{2}(1-e^{-2t})\varepsilon(t)$

    求$f_1(t)*f_2(t)$

    解:$f_1(t)=e^{-2(t+1)}\varepsilon(t+1)e^2, f_2(t)=\varepsilon(t-3)$

    ​ $f_1(t)*f_2(t)=\frac{e^2}{2}[1-e^{-2(t-2)}]\varepsilon(t-2)$

    ​ 因为$e^{-2t}\varepsilon(t)$时移-1个单位,$\varepsilon(t)$时移3个单位,根据时移特性,一共时移2个单位

    例:求$e^{-2t}\varepsilon(t)\delta''(t)\varepsilon(t)$

    ​ =$e^{-2t}\varepsilon(t)\delta'(t)\delta(t)$

    ​ =$e^{-2t}\varepsilon(t)*\delta'(t)=[e^{-2}t\varepsilon(t)]'=\delta(t)-2e^{-2t}\varepsilon$

    例:

    image-20201124235453051

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