线性方程组的解的判定

n元线性方程组$Ax=b$

1. 无解的充要条件 $R(A)<R(A,b)$
2. 有唯一解的充要条件$R(A)=R(A,b)=n$
3. 有无穷多解的充要条件$R(A)=R(A,b)<n$
4. 有解的充分必要条件$R(A)=R(A,b)$

n元线性方程组$Ax=0$

​ 有非零解 <=> $R(A)<n$

​ $R(A)=n$ <=>有唯一的零解

​ 方程个数 < 未知数个数 则一定有非零解

矩阵方程$AX=B$

​ 有解的充要条件$R(A)=R(A,B)$

线性表示

向量b能由向量组A线性表示 <=> $R(A)=R(A, b)$

向量间线性关系

线性相关与无关: $α_1,α_2...α_s$是n个m维向量，若存在一组不全为0的$k_1...k_n$

​ $k_1α_1+...+k_nα_n=0$

则$α_1,α_2...α_s$是线性相关的

1. 向量组中两向量成比例则相关

2. 含零向量的任意向量必相关

3. 一个零向量必相关

4. 一个非零向量必无关

5. $α_1,α_2...α_r$线性相关，则$α_1,α_r,α_{r+1}...α_s$线性相关

   部分组相关=>整体组相关

   整体组无关=>部分组无关

6. 线性无关的向量组，接长向量组也无关。

   线性相关的向量组，截短向量组也相关。

7. n个n维向量, D≠0 <=> 无关。

   ​ D=0 <=> 相关

8. 维数n < 向量个数m，一定线性相关。

9. 线性组合<=>方程有解

   不是线性组合<=>方程无解

10. 线性相关<=>非零解

线性无关<=>只有零解

线性相关 线性无关

1. $α_1...α_s$线性相关 <=> 至少一个向量可由其余向量线性表示

2. $α_1...α_s$线性无关，且$α_1...α_s,β$线性相关，则β可由$α_1...α_s$唯一线性表示

3. 替换定理 $α_1...α_s$线性无关，可由$β_1...β_t$线性表示，则$s≤t$

   ​ $α_1...α_s$可由$β_1...β_t$线性表示，且$s>t$，则$α_1...α_s$线性相关

   ​ m个n维向量线性相关 <=> 向量个数>向量维数

   推论：两个等价的线性无关组，含向量的个数是相同的

   首非零元所在列称为最大线性无关组

4. 向量组A线性相关 <=> $R(A)<向量个数m\ (|A|=0)$

   向量组A线性无关 <=> $R(A) = m\ (|A|≠0)$

向量组的秩

极大无关组含向量个数 $r(α_1,α_2...α_s)$

1. $0≤r(α_1,α_2...α_s)≤min{向量个数, 向量维数}$

定理: $α_1...α_s$可由$β_1...β_t$，则表示$r(α_1...α_s)≤r(β_1...β_s)$

​ 向量组等价，则秩相等。反之不然。

行秩与列秩

行秩=列秩=r(A)

$r(AB)≤min{r(A), r(B)}$

解的结构

1. 齐次 $Ax=0$

   n元齐次的解集S的秩$R_S=n-r$

   $η_1$和$η_2$是$Ax=0$的解，则$η_1+η_2$也是解

   $η$是$Ax=0$的解，则$Cη$也是解

2. 非齐次 $Ax=b\ —>Ax=0$ 导出组

   (1). 若$α_1, α_2$是$Ax=b$的解，那么$α_1-α_2$是$Ax=0$的解

   (2). 若$α_0$是$Ax=b$的解，η是$Ax=0$的解，$α_0+η$ 是 $Ax=b$ 的解

   解的结构：

   ​ 若$α_0$是$Ax=b$的一个解，则称为特解

   ​ 若η是$Ax=0$的通解，则$η=C_1η_1+C_2η_2...+C_{n-r}η{n-r}$, 其中$η_1...η_{n-r}$是$Ax=0$的基础解系。

   ​ $α_0+C_1η_1+C_2η_2+...+C_{n-r}η_{n-r}$是$Ax=b$的全解或通解

向量空间

1. 定义 $R^n$表示所有n维实向量而成的集合

2. 基

   设${α_1, α_2...α_n}包含于R^n$，且$α_1, α_2...α_n$线性无关，称$α_1, α_2...α_n$为$R^n$的一组基

3. 向量在一组基下的坐标，过渡矩阵

   a. 设${α_1, α_2...α_n}$为$R^n$的一组基，任取$β∈R^n$，若$β=k_1α_1+...+k_nα_n$，称${k_1,...,k_n}$为向量β在基设$α_1, α_2...α_n$下的坐标

   b. 设$α_1, α_2...α_n$与$β_1...β_n$为$R^n$两组基

   $$\begin{cases}β_1=k_{11}α_1+...+k_{1n}α_n\...\β_n=k_{n1}α_1+...+k_{nn}α_n\\end{cases}$$

   $(β_1...β_n)=(α_1, α_2...α_n)$· $$\begin{pmatrix}k_{11}&\cdots&k_{n1}\\vdots&\cdots&\vdots\ k_{1n}&\cdots&k_{nn}\end{pmatrix}$$将矩阵称为Q

   称Q为由基$α_1, α_2...α_n$到基$β_1...β_n$的过渡矩阵

特征值与特征向量

$A$是$n$阶矩阵，数$λ$存在非零列向量$α$使$Aα=λα$，则$λ$为$Ａ$的特征值，$α$为对应于$λ$的特征向量。$λ$可以为０，特征向量不能为０。

$\lambda E-A$是$Ａ$的特征矩阵。$|\lambda E-A|$为$A$的特征多项式

$|\lambda E-A|=0$称特征方程，$\lambda$称特征值或根

1). $\lambda$是$A$的特征值，$\alpha$是$A$对应于$\lambda$的特征向量，则$Ｃ\alpha$也是$\lambda$对应的特征向量($C\neq0$)

​ 一个特征向量只对应一个特征值，一个特征值对应$n$个特征向量

2). $\alpha_1,\alpha_2$是$\lambda$的特征向量，$C_1\alpha_1+C_2\alpha_2$是$\lambda$的特征向量

特征值与特征向量的性质

(1). $A和A^T$有相同的特征值，但特征向量不一定相同

(2). n个特征值$\lambda_1...\lambda_n$

​ ①$\sum\lambda_i=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}$ ②$\lambda_1·...·\lambda_n=|A|$

(3). 互不相同的特征值$\lambda_1...\lambda_m$对应的特征向量，则$\alpha_1...\alpha_m$线性无关

(4). $\lambda_1与\lambda_2$不相等，则其对应的特征向量$\alpha_1...\alpha_n,\eta_1...\eta_m$线性无关

(5). k重特征根对应的线性无关的特征向量的个数≤k

其他性质:

(1). $k\lambda$是$kA$的特征值 (2). $\lambda^k$是$A^k$的特征值

(3). $\frac{1}{\lambda}$是$A^-1$的特征值，$\frac{1}{\lambda}|A|$是$A^*$的特征值

例1. 2是A的特征值, $2^5+6×2^2+2+3$是$A^5+6A^2+A+3E$的特征值

例2. A为四阶方阵，$|3E+A|=0,A·A^T=2E,|A|<0$求$A^*$的一个特征值

​ -3为A的特征值, $|A·A^T|=|A||A^T|=|2E|=2^4(因为四阶)=16$

​ $|A|=-4$(因为|A|<0), $A^*的特征值=\frac{1}{\lambda}|A|=\frac{4}{3})$

相似矩阵及可对角化条件

相似：A，B为n阶方阵，存在n阶可逆矩阵P，使$P^{-1}AP=B$, 则$AB$为相似矩阵

性质：

1. 反身性$A\sim A$

   2. 对称性 $A\sim B\rightarrow B\sim A,P^{-1}AP=B\rightarrow PBP^{-1}=A$

   3. $A\sim B$且$B\sim C\Rightarrow A\sim C$

相似矩阵$A\sim B$，则

1. AB有相同特征值，|A|=|B|, tr(A)=tr(B)（对角线元素相加）

   2. A可逆$\Rightarrow$B可逆(不可逆也充要)，且$A^{-1}\sim B^{-1}$

对角形， $P^{-1}AP=\Lambda$是矩阵与对角形相似的条件

定理：A相似于$\Lambda\Leftrightarrow A$ 有几个线性无关的线性向量

推论：若n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则Ａ与对角矩阵相似

​ $A\sim \Lambda\Leftrightarrow r_i$重特征根对应基础解系有$r_i$个

内积，长度和正交性

内积：两个n维向量$x=\begin{pmatrix}x_1\x_2 \ \vdots\x_n\end{pmatrix},y=\begin{pmatrix}y_1 \ y_2\\vdots\y_n\end{pmatrix}$, 令$[x,y]=x_1y_1+\cdots+x_ny_n$. $[x,y]$称为向量x与y的内积

当x与y都是列向量时，有$[x,y]=x^Ty$

内积性质

​ $[x,y]=[y,x];$

​ $[\lambda x,y]=\lambda [x,y];$

​ $[x+y,z]=[x,z]+[y,z]$

​ $|[x,y]|≤||x||·||y||$

​ 当x=0时，[x,x]=0，当x≠0时，[x,x]>0

​ 施瓦茨不等式 $[x,y]^2≤[x,x][y,y]$

向量的长度

​ 令$||x||=\sqrt{[x,y]}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}$

​ ||x||称n维向量x的长度(或范数)

性质：

​ 非负性：当x≠0时，||x||>0，当x=0时，||x||=0

​ 齐次性：$||\lambda x||=|\lambda|·||x||;||x+y||≤||x||+||y||$ 是三角

单位向量: ||x||=1

若a≠0，取$x=\frac{a}{||a||}$，则x是一个单位向量，此过程称a的单位化

夹角$\theta=\arccos\frac{[x,y]}{||x||·||y||}$。$[x,x]=0\Leftrightarrow x=0$

正交：当[x,y]=0时，称x,y正交，显然，若x=0，则x与任何向量都正交

定理：若n维向量$a_1...a_n$是一组两两正交的非零向量，则$a_1...a_n$线性无关。（即正交必线性无关，线性无关不一定正交）

设n维向量$e_1,...,e_r$是向量空间V的一个基，如果$e_1...e_r$两两正交，且都是单位向量，则称$e_1...e_r$是V的一个标准正交基

正交向量组：不含0向量的$a_1..a_s$中两两正交

标准正交向量组$\begin{cases}[a_i,a_i]=1 \ [a_i,a_j]=0\end{cases}$

施密特正交化

​ 给一组线性无关的$a_1...a_s$，求一组正交的$b_1...b_s$，使$a_1...a_s$与$b_1...b_s$等价

​ $\begin{cases}b_1=a_1\b_2=a_2-\frac{[a_2,b_1]}{[b_1,b_1]}b_1 \ b_3=a_3-\frac{[a_3,b_1]}{[b_1,b_1]}b_1-\frac{[a_3,b_2]}{[b_2,b_2]}b_2 \ \cdots\end{cases}$

正交矩阵

​ A为n阶矩阵，若$A^T·A=E$，则A为正交矩阵

​ 性质

​ 1). 若Ａ为正交矩阵，|A|=1或-1

​ 2). 若Ａ正交, $A^{-1}=A^T$且$A^{-1}和A^T$均为正交矩阵

​ 3). 若A和B皆为正交矩阵，则A·B也是正交矩阵

​ 4). 若A正交，$a,b$是n维列向量，则$[Aa,Ab]=[a,b]$

​ 定理：A正交$\Leftrightarrow$A的列（行）向量组是标准正交向量组