# 线性代数

**Repository Path**: tu-zhenjin/linear-algebra

## Basic Information

- **Project Name**: 线性代数
- **Description**: 本人线代2023年7月23开始复习线代，跟的是张宇，所记的笔记~
- **Primary Language**: Unknown
- **License**: Not specified
- **Default Branch**: master
- **Homepage**: None
- **GVP Project**: No

## Statistics

- **Stars**: 1
- **Forks**: 0
- **Created**: 2023-07-23
- **Last Updated**: 2025-02-21

## Categories & Tags

**Categories**: Uncategorized

**Tags**: None

## README

# 线性代数

>跟着张宇

## 行列式

<img src="README.assets/image-20230723195915806.png" alt="image-20230723195915806" style="zoom:50%;" />

### 定义和性质

#### 几何法

**定义：**由n个*n*维向量组成，其运算结果为*n*维图形的体积（n >= 3）

如下：n阶行列式

$D_n=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}_{n\times n}$1.结果是一个算式 2.由向量组组成

> 当n = 2时是平行四边形的面积，n = 1时是一个具体数值。

n = 2时，如图所示：

<img src="README.assets/image-20230723203448837.png" alt="image-20230723203448837" style="zoom:33%;" />

$\begin{aligned}
&\left|\begin{array}{rr}a_{11}&&a_{12}\\a_{21}&&a_{22}\end{array}\right|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=S_{parallelogram}&   \\
&S_{parallelogram}=l\cdot m\cdot\sin(\beta-\alpha) \\
&=l\cdot m(\sin\beta\cos\alpha-\cos\beta\sin\alpha) \\
&=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\end{aligned}$

#### 逆序数法

1. **全排列** 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列，简称**排列**。

   例如, {5,3,4,2,1} 是一个排列。

2. **全排列的个数** 记 $P_n$ 为 n 个元素的全排列的个数，则有 $P_n = n!$

3. **排列数** 记 $P^m_n$ 为从 n 个不同的元素中取出 m 个元素的全排列的个数，则有$P_n^m=A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$

   特别地，当 m=n 时， $P^m_n$=$P_n$ 成立。

4. **逆序** 在全排列中，当某一对元素的先后次序与标准次序不同时，就说它构成 1 个逆序。

5. **逆序数** 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。记排列 $a_n$ 的逆序数为 τ ，则有$τ=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{i-1}[a_i<a_j]$

6. **奇排列与偶排列** 逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列。

7. **对换** 在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动的操作叫做对换。特别地，将相邻的两个元素对换，叫做相邻对换。

8. **对换定理** 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。

em....好像没啥吊用。直接看最后总结！！！

## 矩阵

## 向量组

## 线性方程组

## 特征值与特征向量

## 二次型

# 总结

## 概念

1. $A$是矩阵
2. $|A|$行列式
3. $A^{-1}$逆矩阵(|A| != 0)
4. $A^T$转置矩阵，行列互换
5. $A^{*}$伴随矩阵，由$n^2$个元素的代数余子式组成，（当然求出的各个代数余子式行列互换$A_{ij}变成A_{ji}$）(方阵)

## 行列式

### 七大性质

1. $|A| = |A^T|$

2. 某行（列）为零 ，则行列式为零

3. $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\ka_{i1}&ka_{i2}&\cdots&ka_{in}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$ = k$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$(某行或列中有公因子k,提外面)

4. $D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{i1}+a_{i1}^{\prime}&a_{i2}+a_{i2}^{\prime}&\cdots&a_{in}+a_{in}^{\prime}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$ = $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$ + $\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{i1}^{\prime}&a_{i2}^{\prime}&\cdots&a_{in}^{\prime}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$

   >只有这一行或一列不同时，可以相加

5. 行列式中两行(列)互换,行列式的值加负号

6. 行列式中两行(列)成比例，行列式为零。

7. 行列式中某行(列)的k倍加到另一行(列),行列式的值不变。

### 逆序数法

**逆序数：**一个排列中，逆序的总数称为该排列的逆序数，记作$τ(i_1,i_2...i_n)$ 如：τ(231546) = 3 (2>1 3>1 5>4)

$D_n=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$= $\sum_{(j_1,j_2,...j_n)}(-1)^{τ(j_1,j_2,...j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{nj_n}$

例如：

$\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}$= $a_1b_2c_3 + a_2b_3c_1 + a_3b_1c_2 - a_1b_3c_2 - a_2b_1c_3 - a_3b_2c_1$.

>每行和列取不同的，然后组合一起，正负号看逆序数的奇偶

### 展开定理

1. 余子式
2. 代数余子式



### 几个重要的行列式