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线性动态规划:具有「线性」阶段划分的动态规划方法统称为线性动态规划(简称为「线性 DP」),如下图所示。
如果状态包含多个维度,但是每个维度上都是线性划分的阶段,也属于线性 DP。比如背包问题、区间 DP、数位 DP 等都属于线性 DP。
线性 DP 问题的划分方法有多种方式。
本文中,我们将按照问题的输入格式进行分类,对线性 DP 问题中各种类型问题进行一一讲解。
单串线性 DP 问题:问题的输入为单个数组或单个字符串的线性 DP 问题。状态一般可定义为 $dp[i]$,表示为:
- 「以数组中第 $i$ 个位置元素 $nums[i]$ 为结尾的子数组($nums[0]...nums[i]$)」的相关解。
- 「以数组中第 $i - 1$ 个位置元素 $nums[i - 1]$ 为结尾的子数组($nums[0]...nums[i - 1]$)」的相关解。
- 「以数组中前 $i$ 个元素为子数组($nums[0]...nums[i - 1]$)」的相关解。
这 $3$ 种状态的定义区别在于相差一个元素 $nums[i]$。
单串线性 DP 问题中最经典的问题就是「最长递增子序列(Longest Increasing Subsequence,简称 LIS)」。
描述:给定一个整数数组 $nums$。
要求:找到其中最长严格递增子序列的长度。
说明:
示例:
输入:nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出:4
解释:最长递增子序列是 [2,3,7,101],因此长度为 4。
输入:nums = [0,1,0,3,2,3]
输出:4
按照子序列的结尾位置进行阶段划分。
定义状态 $dp[i]$ 表示为:以 $nums[i]$ 结尾的最长递增子序列长度。
一个较小的数后边如果出现一个较大的数,则会形成一个更长的递增子序列。
对于满足 $0 \le j < i$ 的数组元素 $nums[j]$ 和 $nums[i]$ 来说:
如果 $nums[j] < nums[i]$,则 $nums[i]$ 可以接在 $nums[j]$ 后面,此时以 $nums[i]$ 结尾的最长递增子序列长度会在「以 $nums[j]$ 结尾的最长递增子序列长度」的基础上加 $1$,即:$dp[i] = dp[j] + 1$。
如果 $nums[j] \le nums[i]$,则 $nums[i]$ 不可以接在 $nums[j]$ 后面,可以直接跳过。
综上,我们的状态转移方程为:$dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1), 0 \le j < i, nums[j] < nums[i]$。
默认状态下,把数组中的每个元素都作为长度为 $1$ 的递增子序列。即 $dp[i] = 1$。
根据我们之前定义的状态,$dp[i]$ 表示为:以 $nums[i]$ 结尾的最长递增子序列长度。那为了计算出最大的最长递增子序列长度,则需要再遍历一遍 $dp$ 数组,求出最大值即为最终结果。
class Solution:
def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
size = len(nums)
dp = [1 for _ in range(size)]
for i in range(size):
for j in range(i):
if nums[i] > nums[j]:
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
return max(dp)
单串线性 DP 问题中除了子序列相关的线性 DP 问题,还有子数组相关的线性 DP 问题。
注意:
- 子序列:由数组派生而来的序列,删除(或不删除)数组中的元素而不改变其余元素的顺序。
- 子数组:指的是数组中的一个连续子序列。
「子序列」与「子数组」都可以看做是原数组的一部分,而且都不会改变原来数组中元素的相对顺序。其区别在于数组元素是否要求连续。
描述:给定一个整数数组 $nums$。
要求:找到一个具有最大和的连续子数组(子数组最少包含一个元素),返回其最大和。
说明:
示例:
输入:nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出:6
解释:连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大,为 6。
输入:nums = [1]
输出:1
按照连续子数组的结束位置进行阶段划分。
定义状态 $dp[i]$ 为:以第 $i$ 个数结尾的连续子数组的最大和。
状态 $dp[i]$ 为:以第 $i$ 个数结尾的连续子数组的最大和。则我们可以从「第 $i - 1$ 个数结尾的连续子数组的最大和」,以及「第 $i$ 个数的值」来讨论 $dp[i]$。
归纳一下,状态转移方程为:
$dp[i] = \begin{cases} nums[i], & dp[i - 1] < 0 \cr dp[i - 1] + nums[i] & dp[i - 1] \ge 0 \end{cases}$
根据状态定义,$dp[i]$ 为:以第 $i$ 个数结尾的连续子数组的最大和。则最终结果应为所有 $dp[i]$ 的最大值,即 $max(dp)$。
class Solution:
def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
size = len(nums)
dp = [0 for _ in range(size)]
dp[0] = nums[0]
for i in range(1, size):
if dp[i - 1] < 0:
dp[i] = nums[i]
else:
dp[i] = dp[i - 1] + nums[i]
return max(dp)
因为 $dp[i]$ 只和 $dp[i - 1]$ 和当前元素 $nums[i]$ 相关,我们也可以使用一个变量 $subMax$ 来表示以第 $i$ 个数结尾的连续子数组的最大和。然后使用 $ansMax$ 来保存全局中最大值。
class Solution:
def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
size = len(nums)
subMax = nums[0]
ansMax = nums[0]
for i in range(1, size):
if subMax < 0:
subMax = nums[i]
else:
subMax += nums[i]
ansMax = max(ansMax, subMax)
return ansMax
有一些单串线性 DP 问题在定义状态时需要考虑两个结束位置,只考虑一个结束位置的无法清楚描述问题。这时候我们就需要需要增加一个结束位置维度来定义状态。
描述:给定一个严格递增的正整数数组 $arr$。
要求:从数组 $arr$ 中找出最长的斐波那契式的子序列的长度。如果不存斐波那契式的子序列,则返回 0。
说明:
斐波那契式序列:如果序列 $X_1, X_2, ..., X_n$ 满足:
则称该序列为斐波那契式序列。
斐波那契式子序列:从序列 $A$ 中挑选若干元素组成子序列,并且子序列满足斐波那契式序列,则称该序列为斐波那契式子序列。例如:$A = [3, 4, 5, 6, 7, 8]$。则 $[3, 5, 8]$ 是 $A$ 的一个斐波那契式子序列。
$3 \le arr.length \le 1000$。
$1 \le arr[i] < arr[i + 1] \le 10^9$。
示例:
输入: arr = [1,2,3,4,5,6,7,8]
输出: 5
解释: 最长的斐波那契式子序列为 [1,2,3,5,8]。
输入: arr = [1,3,7,11,12,14,18]
输出: 3
解释: 最长的斐波那契式子序列有 [1,11,12]、[3,11,14] 以及 [7,11,18]。
假设 $arr[i]$、$arr[j]$、$arr[k]$ 是序列 $arr$ 中的 $3$ 个元素,且满足关系:$arr[i] + arr[j] == arr[k]$,则 $arr[i]$、$arr[j]$、$arr[k]$ 就构成了 $arr$ 的一个斐波那契式子序列。
通过 $arr[i]$、$arr[j]$,我们可以确定下一个斐波那契式子序列元素的值为 $arr[i] + arr[j]$。
因为给定的数组是严格递增的,所以对于一个斐波那契式子序列,如果确定了 $arr[i]$、$arr[j]$,则可以顺着 $arr$ 序列,从第 $j + 1$ 的元素开始,查找值为 $arr[i] + arr[j]$ 的元素 。找到 $arr[i] + arr[j]$ 之后,然后再顺着查找子序列的下一个元素。
简单来说,就是确定了 $arr[i]$、$arr[j]$,就能尽可能的得到一个长的斐波那契式子序列,此时我们记录下子序列长度。然后对于不同的 $arr[i]$、$arr[j]$,统计不同的斐波那契式子序列的长度。
最后将这些长度进行比较,其中最长的长度就是答案。
class Solution:
def lenLongestFibSubseq(self, arr: List[int]) -> int:
size = len(arr)
ans = 0
for i in range(size):
for j in range(i + 1, size):
temp_ans = 0
temp_i = i
temp_j = j
k = j + 1
while k < size:
if arr[temp_i] + arr[temp_j] == arr[k]:
temp_ans += 1
temp_i = temp_j
temp_j = k
k += 1
if temp_ans > ans:
ans = temp_ans
if ans > 0:
return ans + 2
else:
return ans
对于 $arr[i]$、$arr[j]$,要查找的元素 $arr[i] + arr[j]$ 是否在 $arr$ 中,我们可以预先建立一个反向的哈希表。键值对关系为 $value : idx$,这样就能在 $O(1)$ 的时间复杂度通过 $arr[i] + arr[j]$ 的值查找到对应的 $arr[k]$,而不用像原先一样线性查找 $arr[k]$ 了。
class Solution:
def lenLongestFibSubseq(self, arr: List[int]) -> int:
size = len(arr)
ans = 0
idx_map = dict()
for idx, value in enumerate(arr):
idx_map[value] = idx
for i in range(size):
for j in range(i + 1, size):
temp_ans = 0
temp_i = i
temp_j = j
while arr[temp_i] + arr[temp_j] in idx_map:
temp_ans += 1
k = idx_map[arr[temp_i] + arr[temp_j]]
temp_i = temp_j
temp_j = k
if temp_ans > ans:
ans = temp_ans
if ans > 0:
return ans + 2
else:
return ans
按照斐波那契式子序列相邻两项的结尾位置进行阶段划分。
定义状态 $dp[i][j]$ 表示为:以 $arr[i]$、$arr[j]$ 为结尾的斐波那契式子序列的最大长度。
以 $arr[j]$、$arr[k]$ 结尾的斐波那契式子序列的最大长度 = 满足 $arr[i] + arr[j] = arr[k]$ 条件下,以 $arr[i]$、$arr[j]$ 结尾的斐波那契式子序列的最大长度加 $1$。即状态转移方程为:$dp[j][k] = max_{(A[i] + A[j] = A[k], \quad i < j < k)}(dp[i][j] + 1)$。
默认状态下,数组中任意相邻两项元素都可以作为长度为 $2$ 的斐波那契式子序列,即 $dp[i][j] = 2$。
根据我们之前定义的状态,$dp[i][j]$ 表示为:以 $arr[i]$、$arr[j]$ 为结尾的斐波那契式子序列的最大长度。那为了计算出最大的最长递增子序列长度,则需要在进行状态转移时,求出最大值 $ans$ 即为最终结果。
因为题目定义中,斐波那契式中 $n \ge 3$,所以只有当 $ans \ge 3$ 时,返回 $ans$。如果 $ans < 3$,则返回 $0$。
注意:在进行状态转移的同时,我们应和「思路 2:哈希表」一样采用哈希表优化的方式来提高效率,降低算法的时间复杂度。
class Solution:
def lenLongestFibSubseq(self, arr: List[int]) -> int:
size = len(arr)
dp = [[0 for _ in range(size)] for _ in range(size)]
ans = 0
# 初始化 dp
for i in range(size):
for j in range(i + 1, size):
dp[i][j] = 2
idx_map = {}
# 将 value : idx 映射为哈希表,这样可以快速通过 value 获取到 idx
for idx, value in enumerate(arr):
idx_map[value] = idx
for i in range(size):
for j in range(i + 1, size):
if arr[i] + arr[j] in idx_map:
# 获取 arr[i] + arr[j] 的 idx,即斐波那契式子序列下一项元素
k = idx_map[arr[i] + arr[j]]
dp[j][k] = max(dp[j][k], dp[i][j] + 1)
ans = max(ans, dp[j][k])
if ans >= 3:
return ans
return 0
双串线性 DP 问题:问题的输入为两个数组或两个字符串的线性 DP 问题。状态一般可定义为 $dp[i][j]$,表示为:
- 「以第一个数组中第 $i$ 个位置元素 $nums1[i]$ 为结尾的子数组($nums1[0]...nums1[i]$)」与「以第二个数组中第 $j$ 个位置元素 $nums2[j]$ 为结尾的子数组($nums2[0]...nums2[j]$)」的相关解。
- 「以第一个数组中第 $i - 1$ 个位置元素 $nums1[i - 1]$ 为结尾的子数组($nums1[0]...nums1[i - 1]$)」与「以第二个数组中第 $j - 1$ 个位置元素 $nums2[j - 1]$ 为结尾的子数组($nums2[0]...nums2[j - 1]$)」的相关解。
- 「以第一个数组中前 $i$ 个元素为子数组($nums1[0]...nums1[i - 1]$)」与「以第二个数组中前 $j$ 个元素为子数组($nums2[0]...nums2[j - 1]$)」的相关解。
这 $3$ 种状态的定义区别在于相差一个元素 $nums1[i]$ 或 $nums2[j]$。
双串线性 DP 问题中最经典的问题就是「最长公共子序列(Longest Common Subsequence,简称 LCS)」。
描述:给定两个字符串 $text1$ 和 $text2$。
要求:返回两个字符串的最长公共子序列的长度。如果不存在公共子序列,则返回 $0$。
说明:
示例:
输入:text1 = "abcde", text2 = "ace"
输出:3
解释:最长公共子序列是 "ace",它的长度为 3。
输入:text1 = "abc", text2 = "abc"
输出:3
解释:最长公共子序列是 "abc",它的长度为 3。
按照两个字符串的结尾位置进行阶段划分。
定义状态 $dp[i][j]$ 表示为:「以 $text1$ 中前 $i$ 个元素组成的子字符串 $str1$ 」与「以 $text2$ 中前 $j$ 个元素组成的子字符串 $str2$」的最长公共子序列长度为 $dp[i][j]$。
双重循环遍历字符串 $text1$ 和 $text2$,则状态转移方程为:
根据状态定义,最后输出 $dp[sise1][size2]$(即 $text1$ 与 $text2$ 的最长公共子序列长度)即可,其中 $size1$、$size2$ 分别为 $text1$、$text2$ 的字符串长度。
class Solution:
def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:
size1 = len(text1)
size2 = len(text2)
dp = [[0 for _ in range(size2 + 1)] for _ in range(size1 + 1)]
for i in range(1, size1 + 1):
for j in range(1, size2 + 1):
if text1[i - 1] == text2[j - 1]:
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
else:
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])
return dp[size1][size2]
描述:给定两个整数数组 $nums1$、$nums2$。
要求:计算两个数组中公共的、长度最长的子数组长度。
说明:
示例:
输入:nums1 = [1,2,3,2,1], nums2 = [3,2,1,4,7]
输出:3
解释:长度最长的公共子数组是 [3,2,1] 。
输入:nums1 = [0,0,0,0,0], nums2 = [0,0,0,0,0]
输出:5
按照子数组结尾位置进行阶段划分。
定义状态 $dp[i][j]$ 为:「以 $nums1$ 中前 $i$ 个元素为子数组($nums1[0]...nums2[i - 1]$)」和「以 $nums2$ 中前 $j$ 个元素为子数组($nums2[0]...nums2[j - 1]$)」的最长公共子数组长度。
class Solution:
def findLength(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
size1 = len(nums1)
size2 = len(nums2)
dp = [[0 for _ in range(size2 + 1)] for _ in range(size1 + 1)]
res = 0
for i in range(1, size1 + 1):
for j in range(1, size2 + 1):
if nums1[i - 1] == nums2[j - 1]:
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
if dp[i][j] > res:
res = dp[i][j]
return res
双串线性 DP 问题中除了经典的最长公共子序列问题之外,还包括字符串的模糊匹配问题。
描述:给定两个单词 $word1$、$word2$。
对一个单词可以进行以下三种操作:
要求:计算出将 $word1$ 转换为 $word2$ 所使用的最少操作数。
说明:
示例:
输入:word1 = "horse", word2 = "ros"
输出:3
解释:
horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')
rorse -> rose (删除 'r')
rose -> ros (删除 'e')
输入:word1 = "intention", word2 = "execution"
输出:5
解释:
intention -> inention (删除 't')
inention -> enention (将 'i' 替换为 'e')
enention -> exention (将 'n' 替换为 'x')
exention -> exection (将 'n' 替换为 'c')
exection -> execution (插入 'u')
按照两个字符串的结尾位置进行阶段划分。
定义状态 $dp[i][j]$ 表示为:「以 $word1$ 中前 $i$ 个字符组成的子字符串 $str1$」变为「以 $word2$ 中前 $j$ 个字符组成的子字符串 $str2$」,所需要的最少操作次数。
综合上述情况,状态转移方程为:
$dp[i][j] = \begin{cases} dp[i - 1][j - 1] & word1[i - 1] = word2[j - 1] \cr min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1 & word1[i - 1] \ne word2[j - 1] \end{cases}$
根据状态定义,最后输出 $dp[sise1][size2]$(即 $word1$ 变为 $word2$ 所使用的最少操作数)即可。其中 $size1$、$size2$ 分别为 $word1$、$word2$ 的字符串长度。
class Solution:
def minDistance(self, word1: str, word2: str) -> int:
size1 = len(word1)
size2 = len(word2)
dp = [[0 for _ in range(size2 + 1)] for _ in range(size1 + 1)]
for i in range(size1 + 1):
dp[i][0] = i
for j in range(size2 + 1):
dp[0][j] = j
for i in range(1, size1 + 1):
for j in range(1, size2 + 1):
if word1[i - 1] == word2[j - 1]:
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
else:
dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + 1
return dp[size1][size2]
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