二分查找的细节问题&寻找左侧边界&右侧边界）.md · ZechariahZheng/blog文档

# 二分查找的细节问题&寻找左侧边界&右侧边界

## 1、二分查找的细节问题

寻找一个数的最基本二分查找

这个场景是最简单的，肯能也是大家最熟悉的，即搜索一个数，如果存在，返回其索引，否则返回 -1。

```java
	1	int binarySearch(int[] nums, int target) {
    2         int left = 0; 
    3         int right = nums.length - 1; // 注意
    4 
    5         while(left <= right) {
    6                 int mid = (right + left) / 2;
    7                 if(nums[mid] == target)
    8                         return mid; 
    9                 else if (nums[mid] < target)
   10                         left = mid + 1; // 注意
   11                 else if (nums[mid] > target)
   12                         right = mid - 1; // 注意
   13                 }
   14         return -1;
     }
```

1. **为什么 while 循环的条件中是 <=，而不是 < ？**

答：因为初始化 right 的赋值是 nums.length-1，即最后一个元素的索引，而不是 nums.length。

这二者可能出现在不同功能的二分查找中，区别是：前者相当于两端都闭区间 [left, right]，后者相当于左闭右开区间 [left, right)，因为索引大小为 nums.length 是越界的。

我们这个算法中使用的是前者 [left, right] 两端都闭的区间。这个区间其实就是每次进行搜索的区间，我们不妨称为「搜索区间」。

2. **为什么 left = mid + 1，right = mid - 1？我看有的代码是 right = mid 或者 left = mid，没有这些加加减减，到底怎么回事，怎么判断？**

答：这也是二分查找的一个难点，不过只要你能理解前面的内容，就能够很容易判断。

刚才明确了「搜索区间」这个概念，而且本算法的搜索区间是两端都闭的，即 [left, right]。那么当我们发现索引 mid 不是要找的 target 时，如何确定下一步的搜索区间呢？

当然是 [left, mid - 1] 或者 [mid + 1, right] 对不对？因为 mid 已经搜索过，应该从搜索区间中去除。

3. **此算法有什么缺陷？**

答：至此，你应该已经掌握了该算法的所有细节，以及这样处理的原因。但是，这个算法存在局限性。

比如说给你有序数组 nums = [1,2,2,2,3]，target = 2，此算法返回的索引是 22，没错。但是如果我想得到 target 的左侧边界，即索引 11，或者我想得到 target 的右侧边界，即索引 33，这样的话此算法是无法处理的。

这样的需求很常见。你也许会说，找到一个 target，然后向左或向右线性搜索不行吗？可以，但是不好，因为这样难以保证二分查找对数级的复杂度了。

## **二、寻找左侧边界的二分搜索**

```java
	1 int left_bound(int[] nums, int target) {
    2         if (nums.length == 0) return -1;
    3         int left = 0;
    4         int right = nums.length; // 注意
    5         
    6         while (left < right) { // 注意
    7                 int mid = (left + right) / 2;
    8                 if (nums[mid] == target) {
    9                         right = mid;
   10                 } else if (nums[mid] < target) {
   11                         left = mid + 1;
   12                 } else if (nums[mid] > target) {
   13                         right = mid; // 注意
   14                 }
   15         }
   16         return left;
   17 }
```

1. **为什么 while(left < right) 而不是 <= ?**

答：用相同的方法分析，因为 right = nums.length 而不是 nums.length - 1 。因此每次循环的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开。

while(left < right) 终止的条件是 left == right，此时搜索区间 [left, left) 为空，所以可以正确终止。

2. **为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？**

答：因为要一步一步来，先理解一下这个「左侧边界」有什么特殊含义：

![](C:\Users\ZZS\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20191118215532189.png)

对于这个数组，算法会返回 11。这个 11 的含义可以这样解读：nums 中小于 22 的元素有 11 个。

比如对于有序数组 nums = [2,3,5,7], target = 1，算法会返回 00，含义是：nums 中小于 11 的元素有 00 个。

再比如说 nums 不变，target = 8，算法会返回 44，含义是：nums 中小于 88 的元素有 44 个。

综上可以看出，函数的返回值（即 left 变量的值）取值区间是闭区间 [0, nums.length]，所以我们简单添加两行代码就能在正确的时候 return -1：

```java
    1 while (left < right) {
    2         //...
    3 }
    4 // target 比所有数都大
    5 if (left == nums.length) return -1;
    6 // 类似之前算法的处理方式
    7 return nums[left] == target ? left : -1;
```

3. **为什么 left = mid + 1，right = mid ？和之前的算法不一样？**

答：这个很好解释，因为我们的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开，所以当 nums[mid] 被检测之后，下一步的搜索区间应该去掉 mid 分割成两个区间，即 [left, mid) 或 [mid + 1, right)。

4. **为什么该算法能够搜索左侧边界？**

答：关键在于对于 nums[mid] == target 这种情况的处理：

```java
  1 if (nums[mid] == target)

2     right = mid;
```

可见，找到 target 时不要立即返回，而是缩小「搜索区间」的上界 right，在区间 [left, mid) 中继续搜索，即不断向左收缩，达到锁定左侧边界的目的。

5. **为什么返回 left 而不是 right？**

答：都是一样的，因为 while 终止的条件是 left == right。

## **三、寻找右侧边界的二分查找**

```java
    1 int right_bound(int[] nums, int target) {
    2         if (nums.length == 0) return -1;
    3         int left = 0, right = nums.length;
    4         
    5         while (left < right) {
    6                 int mid = (left + right) / 2;
    7                 if (nums[mid] == target) {
    8                         left = mid + 1; // 注意
    9                 } else if (nums[mid] < target) {
   10                         left = mid + 1;
   11                 } else if (nums[mid] > target) {
   12                         right = mid;
   13                 }
   14         }
   15         return left - 1; // 注意
   16 }
```

道理同寻找左侧边界类似

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