title: "Killing矢量场"
date: 2020-01-20T19:20:35+08:00
draft: true
categories: ["微分几何"]
tags: ["流形","killing","等度规映射","julia","测地线","矢量场"]
Killing矢量场
描述了(伪)黎曼流形
的对称性,每一种对称性都与一个Killing矢量场
相关联。
给定度规的流形$(M,g_{ab})$,不但可以谈微分同胚映射,还可进一步谈等度规映射
:
$$
\phi:M\to M, \quad \phi^*g_{ab}=g_{ab}
$$
很自然也可谈单参等度规群
。能给出了单参等度规(局域)群
的矢量场$\xi^a$被称作Killing矢量场
,等价于$\mathscr{L}{\xi} g{ab}=0$。因为:
$$
\mathscr{L}{\xi} g{ab}=\lim_{t\to 0}{\frac{1}{t}(\phi^*t g{ab}-g_{ab})}=0
$$
进而等价于Killing方程
$\nabla_{(a} \xi_{b)}=0$。因为:
$$
\begin{aligned}0&=\mathscr{L}{\xi} g{ab}\ &=\xi^c \nabla_c g_{ab} + g_{ca} \nabla_b \xi^c+ g_{cb} \nabla_a \xi^c\ &=\nabla_b \xi_a + \nabla_a \xi_b\quad\text{度规适配导数算符,并降指标}\ &=2 \nabla_{(a} \xi_{b)}\end{aligned}
$$
Killing矢量场
$\xi^a$在其适配坐标系${x^\mu},\quad \xi^a=(\partial/\partial x^1)^a$中满足$\partial g_{\mu\upsilon}/\partial x^1=0$,反之依然。因为:
$$
0=(\mathscr{L}\xi g){\mu\upsilon}=\frac{\partial g_{\mu\upsilon}}{\partial x^1}
$$
测地线切矢$T^a$与Killing矢量场$\xi^a$沿测地线“内积”不变:$T^a\nabla_a(T^b\xi_b)=0$。因为: $$ \begin{aligned}T^a\nabla_a(T^b\xi_b)=& \xi_bT^a\nabla_aT^b+T^aT^b\nabla_a\xi_b\\ =& T^aT^b\nabla_a\xi_b\quad \text{用到测地线定义}\\ =& T^{(a}T^{b)}\nabla_{[a}\xi_{b]}=0\quad \text{用到Killing方程,并异种括号缩并为0}\end{aligned} $$
称$(M,g_{ab})$是最高对称性空间
,如果$\dim \mathscr{K}_M = n(n+1)/2$。
一般方法是求解Killing方程
通解,但对简单的情况可以采用猜解再验证的方法。
以二维欧氏空间$(\mathbb{R}^2,\delta_{ab})$为例,相信此空间具有最高对称性,应该有$n(n+1)/2=3$个独立Killing矢量场。
很自然想到:两个方向平移和一个转动。
如果选择笛卡尔坐标系${x,y}$,线元$ds^2=dx^2+dy^2$,欧氏度规$\delta_{ab}$在此系中分量都是常数,所以$(\partial/\partial x)^a$和$(\partial/\partial y)^a$都为Killing矢量场,并且相互独立。
再选择极坐标系${r,\varphi}$,线元$ds^2=dr^2+r^2d\varphi^2$,欧氏度规$\delta_{ab}$在此系中分量都与$\varphi$无关,所以只有$(\partial/\partial \varphi)^a$是Killing矢量。 用笛卡尔坐标基底展开: $$ \begin{aligned}\left(\frac{\partial}{\partial\varphi}\right)^a=&\frac{\partial x}{\partial \varphi} \left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^a +\frac{\partial y}{\partial \varphi}\left(\frac{\partial}{\partial y}\right)^a\\ =& -r\sin\varphi \left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^a +r\cos\varphi\left(\frac{\partial}{\partial y}\right)^a\\ =& -y \left(\frac{\partial}{\partial x}\right)^a +x\left(\frac{\partial}{\partial y}\right)^a\end{aligned} $$
以二维闵氏空间$(\mathbb{R}^2,\eta_{ab})$为例,选择洛伦兹坐标系${t,x}$,线元$ds^2=-dt^2+dx^2$。
用julia
列出所有独立的Killing方程:
using SymPy
# 选择洛伦兹坐标系
@vars t x real=true
X = [t,x]
# 待求的Killing矢量场的分量
ξ = SymFunction("ξ^1,ξ^2")
# 闵氏度规及逆度规
g = sympy.eye(2) .* [-1,1]
gi = inv(g)
# 根据度规计算克氏符
Γ = sum([(1//2)*gi[σ,ρ]*(diff(g[μ,ρ],X[υ])+
diff(g[υ,ρ],X[μ])-diff(g[μ,υ],X[ρ]))
for μ in 1:2,υ in 1:2 ,σ in 1:2]
for ρ in 1:2)
# 列出所有独立Killing方程组
eqs = [(0⩵diff(sum(g[υ,ρ]*ξ[ρ](t,x) for ρ in 1:2),X[μ])+
diff(sum(g[μ,ρ]*ξ[ρ](t,x) for ρ in 1:2),X[υ])-
2*sum(Γ[μ,υ,σ]*sum(g[σ,ρ]*ξ[ρ](t,x) for ρ in 1:2)
for σ in 1:2))
for μ in 1:2,υ in 1:2 if μ ≤ υ ]
执行的结果: $$ \left[ \begin{array}{r}0 = - 2 \frac{\partial}{\partial t} \operatorname{ξ^{1}}{\left (t,x \right )}\0 = - \frac{\partial}{\partial x} \operatorname{ξ^{1}}{\left (t,x \right )} + \frac{\partial}{\partial t} \operatorname{ξ^{2}}{\left (t,x \right )}\0 = 2 \frac{\partial}{\partial x} \operatorname{ξ^{2}}{\left (t,x \right )}\end{array} \right] $$
由方程1和3有$\xi^1(t,x)=h(x),\xi^2(t,x)=g(t)$,代入方程2得: $$ \frac{\partial h(x)}{\partial x}=\frac{\partial g(t)}{\partial t}=C $$ 当$C=0$时,有$\xi^1(t,x)=h(x)=c_1, \xi^2(t,x)=g(t)=c_2$, 即有两个独立特解: $$ \xi^a=(\frac{\partial}{\partial t})^a,\quad \xi=(1,0)\\ \xi^a=(\frac{\partial}{\partial x})^a,\quad \xi=(0,1) $$ 当$C\neq0$时,有$\xi^1(t,x)=h(x)=C x, \xi^2(t,x)=g(t)=C t$,由此到一个独立特解: $$ \xi^a=x(\frac{\partial}{\partial t})^a+t(\frac{\partial}{\partial x})^a,\quad \xi=(x,t) $$
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