title: "辛流形"
date: 2020-02-28T16:55:40+08:00
draft: true
categories: ["微分几何"]
tags: ["流形", "辛流形", "哈密顿", "泊松"]

通过类比(维)黎曼流形掌握辛流形的基本概念。

辛构造，就是闭的反称度规。辛流形，就是配备了辛构造的流形。

具有相同维度的所有辛流形均局域辛同构（保辛结构的微分同胚映射）。

辛矢量场是Killing矢量场的类似概念，是无穷小对称生成元。

如果$X^b\omega_{ba}$是恰当的，那么对应的辛矢量场$X^a$就是哈密顿矢量场。

泊松括号， 把哈密顿力学和辛流形联系到一起。

辛流形的辛构造

上一节，给出了这是和(对称)度规类似的反称度规的概念，也是一个非奇异2-形式。 在此基础上可以定义辛构造。

$2n$维光滑流形$M$上的2-形式$\boldsymbol{\omega}\in\Lambda_M(2)$，若满足以下两个条件：

• 1）$\boldsymbol{\omega}$是反称度规。【$\boldsymbol{\omega}$是非奇异的】
• 2）$\boldsymbol{\omega}$是闭的。【$d\boldsymbol{\omega}=0$】

则称$\boldsymbol{\omega}$为流形$M$上的辛结构。只满足条件1）的，叫近辛结构。只满足条件2）的，则叫予辛结构。

配有辛结构的光滑流形$(M,\boldsymbol{\omega})$，称为辛流形。

注意：上一节用$s_{ab}$表示反称度规，目的是强调和(对称)度规$g_{ab}$的类比，从本节开始用$\boldsymbol{\omega}$表示反称度规，目的是强调这也是一个微分形式。

辛流形的反称内积

首先，$\boldsymbol{\omega}$作为反称度规，上一节的相关性质，也是辛流形的性质。

此外，在流形$M$上每点$p$的切空间$V_p$上，从双线性映射$V_p\times V_p\to \mathbb{R}$的角度看$\boldsymbol{\omega}$，实际上定义了$V_p$上两个矢量的反称内积：

$$ \boldsymbol{\omega}(u,v)=-\boldsymbol{\omega}(v,u),\quad \forall u,v\in V_p $$

$\boldsymbol{\omega}$的非奇异性则要求：

$$ \boldsymbol{\omega}(u,v)=0,\quad \forall v\in V_p \quad\Longrightarrow \quad u=0 $$

辛流形的正则坐标

上一节已经涉及了正则基底，本节自然也期望存在一个局域坐标系${q^\mu,p_\mu}$，使得$\boldsymbol{\omega}$也有完全一样的简单形式：

$$ \boldsymbol{\omega}=(dp_\mu)_a\wedge(dq^\mu)_b $$

很幸运，Danboux定理保证了这一点。所以这个特殊的局域坐标${q^\mu,p_\mu}$称作正则坐标，也被称作Danboux坐标。

此外，这里$p_\mu$取下标形式的原因：首先，这个特殊坐标下$p_\mu=\delta_{\mu\upsilon}p^\upsilon\backsimeq p^\mu$，含义一样；其次，也为了和哈密顿力学中正则坐标保持一致的习惯。

矢量场到对偶矢量场的自然同构

流形$M$即使没有任何额外结构，矢量场和对偶矢量场也是同构的。但这种同构映射有多种选择，没有谁更特殊。 一旦配置了某种结构，就可能存在一种特别自然的同构映射， 比如，(对称)度规所诱导的同构映射。

类似的，对辛流形$(M,\boldsymbol{\omega})$而言，$\boldsymbol{\omega}$不但可以看成$\boldsymbol{\omega}:V_p\times V_p\to \mathbb{R}$的内积映射，作为$(0,2)$型张量，也可以看成是映射$\omega_{ab}:V_p\to V^*_p$：

$$ \begin{aligned}\omega_{ab}:&V_p\to V^*p\\ & v^a\mapsto v_a\overset{\Delta}{=}\omega{ab}v^b\end{aligned} $$

对应也有逆映射$\omega^{ab}:V^*_p\to V_p$：

$$ \begin{aligned}\omega^{ab}:&V^*_p\to V_p\\ & v_a\mapsto v^a=\omega^{ab}v_b\end{aligned} $$

所以，反称度规$\boldsymbol{\omega}$是一个非常自然的$V_p\to V^*p$的同构映射；进而反称度规场$\boldsymbol{\omega}$也是矢量场到对偶矢量场的自然同构$\omega{ab}:\mathscr{F}_M(1,0)\to\mathscr{F}_M(0,1)$。

同时，和度规$g_{ab}$一样，$\boldsymbol{\omega}=\omega_{ab}$也具有"提升"和"下降"指标的作用。

辛构造的特别之处（与对称度规相比）

对(伪)黎曼流形$(M,g_{ab})$而言，在每点$p\in M$的切空间$V_p$上，度规张量的分量矩阵都能通过坐标变换化成对角形式$g_{\mu\upsilon}=\delta_{\mu\upsilon}$。 但是，一般不能在$p$点邻域上处处化为对角形（同一套坐标变换下），除非曲率张量系数全为0。

但辛流形$(M,\boldsymbol{\omega})$有些不一样，由于辛结构$\boldsymbol{\omega}$是局域可积的，可局域辛同胚于标准型，即可在任意点的邻域通过保辛结构的坐标变换化为标准型：

$$ (\omega_{\mu\upsilon})=\begin{pmatrix} 0 & -I_{n} \\ I_{n} & 0 \end{pmatrix}\\ \quad \\ \boldsymbol{\omega}=(dp_\mu)_a\wedge(dq^\mu)_b $$

这是Danboux定理所保证的。这说明：具有相同维度的所有辛流形均局域辛同构（保辛结构的微分同胚映射）。 也就是说辛流形实际上是整体的。

辛矢量场(和Killing矢量场类比)

辛群$S!p(n)$作为辛流形$(M,\boldsymbol{\omega})$上得变换群，即保辛结构变换的群，其上的李代数$\mathscr{S!p}(n)$的元素$X^a\in\mathscr{F}_M(1,0)$就是这个变换群的无穷小生成元。

如果辛结构沿这个无穷小生成元$X^a$的李导数为0，即满足：

$$ \mathscr{L}_X\boldsymbol{\omega}=0 $$

那么称这个生成元$X^a$就是辛矢量场，也就是无穷小对称生成元。

辛矢量场的集合记作$\mathrm{Sym}(M)$。考虑$X,Y\in \mathrm{Sym}{M}$，由于$[\mathscr{L}_X,\mathscr{L}Y]=\mathscr{L}{[X,Y]}$，可以证明$[X,Y]$也是辛矢量场。这说明$\mathrm{Sym}(M)$形成$M$上向量场李代数$\mathscr{X}(M)$的李子代数。

根据李导数算子$L_X$、外微分算子$d$、缩并算子$i_X$之间的Cartan公式有：

$$ \begin{aligned}\mathscr{L}X \boldsymbol{\omega}&=(d \circ i_X+i_X \circ d)\boldsymbol{\omega}, \quad i_X\omega{a_1\dots a_r}\overset{\Delta}{=}X^{a_1}\omega_{a_1\dots a_r}\\ &=(d \circ i_X)\boldsymbol{\omega},\qquad d\boldsymbol{\omega}=0 \\ &=d ( X^b\omega_{ba})\end{aligned} $$

这说明有如下等价说法：

$$ \begin{aligned}&X^a\in \mathscr{S!p}(n)\text{是无穷小对称生成元}\\ \quad\Leftrightarrow\quad &X^a\text{是辛矢量场}\\ \quad\Leftrightarrow\quad &\mathscr{L}X\boldsymbol{\omega}=0\\ \quad\Leftrightarrow\quad &d ( X^b\omega{ba})=0\qquad X^b\omega_{ba}\text{是闭1-形式}\end{aligned} $$

而(伪)黎曼流形$(M,g_{ab})$对应的无穷小对称生成元，是指满足$\mathscr{L}v g{ab}=0$的矢量场$v^a$，即Killing矢量场。

此外，独立Killing矢量场的个数最多是$n(n+1)/2,\quad n=\dim M$。但是，独立辛矢量场的个数有无限多个。

哈密顿矢量场

我们已经知道一个微分形式是恰当的，那必然是闭的。 但如果是闭的，未必是恰当的。

对辛矢量场$X^a\in\mathrm{Sym}(M)$而言，$X^b\omega_{ba}$是闭的。 如果同时是恰当的，即存在标量场$f\in\mathscr{F}_M$满足：

$$ \begin{aligned}&X^b\omega_{ba}=-\frac{1}{2}df,\quad \exist f\in \mathscr{F}_M \\ \Longleftrightarrow\quad & \boxed{X^a=\frac{1}{2}\omega^{ab}(df)_b=\frac{1}{2}\omega^{ab}\nabla_b f}\overset{\Delta}{=}X^a_f\end{aligned} $$

此时，我们称是$X^a$是$f$的哈密顿矢量场。哈密顿矢量场的集合记作$\mathrm{Ham}(M)$，也构成李代数。

根据微分形式闭的和恰当的的关系，我们知道哈密顿矢量必定是辛矢量，但反之不一定。 既有如下李代数的包含链：

$$ \mathrm{Ham}(M)\subset\mathrm{Sym}(M)\subset\mathscr{X}(M) $$

泊松括号

在辛流形$(M,\boldsymbol{\omega})$上，可以定义任意两个标量场$f$和$g$的泊松括号：

$$ \begin{aligned}{f,g}&\overset{\Delta}{=}\frac{1}{2}\omega^{ab}(df)_a(dg)_b,\quad \forall f,g\in\mathscr{F}M \\ &=\frac{1}{2}\omega^{ab}(\nabla_a f)(\nabla_b g) \\ &=X^a_g\nabla_a f=-X^a_f\nabla_a g\\ &=-\frac{1}{2}\omega{ab} X^a_f X^b_g \end{aligned} $$

这样定义的泊松括号具有如下性质：

• 1）实双线性：${\alpha f+\beta g,h}=\alpha{f,h}+\beta{g,h},\quad \forall \alpha,\beta\in\mathbb{R},f,g,h\in\mathscr{F}_M$
• 2）反对称：${f,g}=-{g,f}$
• 3）雅可比恒等式：${f,{g,h}}+{g,{h,f}}+{h,{f,g}}=0$
• 4）莱布尼茨规则：${f,gh}=g{f,h}+{f,g}h$

头三条性质保证了$\mathscr{F}_M$形成李代数。

局域正则坐标表示

若在辛流形$(M,\boldsymbol{\omega})$上选择局域正则坐标，于是有：

$$ \boxed{\begin{aligned}\text{辛结构}\qquad& \boldsymbol{\omega}=\omega_{ab}=(dp_\mu)a\wedge(dq^\mu)b\\ &\omega^{ab}= 2\left[\left(\frac{\partial}{\partial q^\mu}\right)^a\left(\frac{\partial}{\partial p\mu}\right)^b-\left(\frac{\partial}{\partial q^\mu}\right)^b\left(\frac{\partial}{\partial p\mu}\right)^a\right]\\ \text{哈密顿矢量场}\qquad& X^a_f=\frac{\partial f}{\partial p_\mu}\left(\frac{\partial}{\partial q^\mu}\right)^a-\frac{\partial f}{\partial q^\mu}\left(\frac{\partial}{\partial p_\mu}\right)^a\\ \text{泊松括号}\qquad& {f,g}=\frac{\partial f}{\partial p_\mu}\frac{\partial g}{\partial q^\mu}-\frac{\partial f}{\partial q^\mu}\frac{\partial g}{\partial p_\mu} \end{aligned}} $$