1. KMP 算法介绍

KMP 算法：全称叫做 「Knuth Morris Pratt 算法」，是由它的三位发明者 Donald Knuth、James H. Morris、 Vaughan Pratt 的名字来命名的。KMP 算法是他们三人在 1977 年联合发表的。

• KMP 算法思想：对于给定文本串 $T$ 与模式串 $p$，当发现文本串 $T$ 的某个字符与模式串 $p$ 不匹配的时候，可以利用匹配失败后的信息，尽量减少模式串与文本串的匹配次数，避免文本串位置的回退，以达到快速匹配的目的。

1.1 朴素匹配算法的缺陷

在朴素匹配算法的匹配过程中，我们分别用指针 $i$ 和指针 $j$ 指示文本串 $T$ 和模式串 $p$ 中当前正在对比的字符。当发现文本串 $T$ 的某个字符与模式串 $p$ 不匹配的时候，$j$ 回退到开始位置，$i$ 回退到之前匹配开始位置的下一个位置上，然后开启新一轮的匹配，如图所示。

这样，在 Brute Force 算法中，如果从文本串 $T[i]$ 开始的这一趟字符串比较失败了，算法会直接开始尝试从 $T[i + 1]$ 开始比较。如果 $i$ 已经比较到了后边位置，则该操作相当于将指针 $i$ 进行了回退操作。

那么有没有哪种算法，可以让 $i$ 不发生回退，一直向右移动呢？

1.2 KMP 算法的改进

如果我们可以通过每一次的失配而得到一些「信息」，并且这些「信息」可以帮助我们跳过那些不可能匹配成功的位置，那么我们就能大大减少模式串与文本串的匹配次数，从而达到快速匹配的目的。

每一次失配所告诉我们的信息是：主串的某一个子串等于模式串的某一个前缀。

这个信息的意思是：如果文本串 $T[i: i + m]$ 与模式串 $p$ 的失配是下标位置 $j$ 上发生的，那么文本串 $T$ 从下标位置 $i$ 开始连续的 $j - 1$ 个字符，一定与模式串 $p$ 的前 $j - 1$ 个字符一模一样，即：$T[i: i + j] == p[0: j]$。

但是知道这个信息有什么用呢？

以刚才图中的例子来说，文本串的子串 $T[i: i + m]$ 与模式串 $p$ 的失配是在第 $5$ 个位置发生的，那么：

• 文本串 $T$ 从下标位置 $i$ 开始连续的 $5$ 个字符，一定与模式串 $p$ 的前 $5$ 个字符一模一样，即："ABCAB" == "ABCAB"。
• 而模式串的前 $5$ 个字符中，前 $2$ 位前缀和后 $2$ 位后缀又是相同的，即 "AB" == "AB"。

所以根据上面的信息，我们可以推出：文本串子串的后 $2$ 位后缀和模式串子串的前 $2$ 位是相同的，即 $T[i + 3: i + 5] == p[0: 2]$，而这部分（即下图中的蓝色部分）是之前已经比较过的，不需要再比较了，可以直接跳过。

那么我们就可以将文本串中的 $T[i + 5]$ 对准模式串中的 $p[2]$，继续进行对比。这样 $i$ 就不再需要回退了，可以一直向右移动匹配下去。在这个过程中，我们只需要将模式串 $j$ 进行回退操作即可。

KMP 算法就是使用了这样的思路，对模式串 $p$ 进行了预处理，计算出一个 「部分匹配表」，用一个数组 $next$ 来记录。然后在每次失配发生时，不回退文本串的指针 $i$，而是根据「部分匹配表」中模式串失配位置 $j$ 的前一个位置的值，即 $next[j - 1]$ 的值来决定模式串可以向右移动的位数。

比如上述示例中模式串 $p$ 是在 $j = 5$ 的位置上发生失配的，则说明文本串的子串 $T[i: i + 5]$ 和模式串 $p[0: 5]$ 的字符是一致的，即 "ABCAB" == "ABCAB"。而根据「部分匹配表」中 $next[4] == 2$，所以不用回退 $i$，而是将 $j$ 移动到下标为 $2$ 的位置，让 $T[i + 5]$ 直接对准 $p[2]$，然后继续进行比对。

1.3 next 数组

上文提到的「部分匹配表」，也叫做「前缀表」，在 KMP 算法中使用 $next$ 数组存储。$next[j]$ 表示的含义是：记录下标 j 之前（包括 j）的模式串 $p$ 中，最长相等前后缀的长度。

简单而言，就是求：模式串 $p$ 的子串 $p[0: j + 1]$ 中，使得「前 k 个字符」恰好等于「后 k 个字符」的「最长的 $k$」。当然子串 $p[0: j + 1]$ 本身不参与比较。

举个例子来说明一下，以 p = "ABCABCD" 为例。

• $next[0] = 0$，因为 "A" 中无有相同前缀后缀，最大长度为 $0$。
• $next[1] = 0$，因为 "AB" 中无相同前缀后缀，最大长度为 $0$。
• $next[2] = 0$，因为 "ABC" 中无相同前缀后缀，最大长度为 $0$。
• $next[3] = 1$，因为 "ABCA" 中有相同的前缀后缀 "A"，最大长度为 $1$。
• $next[4] = 2$，因为 "ABCAB" 中有相同的前缀后缀 "AB"，最大长度为 $2$。
• $next[5] = 3$，因为 "ABCABC" 中有相同的前缀后缀 "ABC"，最大长度为 $3$。
• $next[6] = 0$，因为 "ABCABCD" 中无相同前缀后缀，最大长度为 $0$。

同理也可以计算出 "ABCABDEF" 的前缀表为 $[0, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 0]$。"AABAAAB" 的前缀表为 $[0, 1, 0, 1, 2, 2, 3]$。"ABCDABD" 的前缀表为 $[0, 0, 0, 0, 1, 2, 0]$。

在之前的例子中，当 $p[5]$ 和 $T[i + 5]$ 匹配失败后，根据模式串失配位置 $j$ 的前一个位置的值，即 $next[4] = 2$，我们直接让 $T[i + 5]$ 直接对准了 $p[2]$，然后继续进行比对，如下图所示。

但是这样移动的原理是什么？

其实在上文 「1.2 KMP 算法的改进」 中的例子中我们提到过了。现在我们将其延伸总结一下，其实这个过程就是利用了前缀表进行模式串移动的原理，具体推论如下。

如果文本串 $T[i: i + m]$ 与模式串 $p$ 的失配是在第 $j$ 个下标位置发生的，那么：

• 文本串 $T$ 从下标位置 $i$ 开始连续的 $j$ 个字符，一定与模式串 $p$ 的前 $j$ 个字符一模一样，即：$T[i: i + j] == p[0: j]$。
• 而如果模式串 $p$ 的前 $j$ 个字符中，前 $k$ 位前缀和后 $k$ 位后缀相同，即 $p[0: k] == p[j - k: j]$，并且要保证 $k$ 要尽可能长。

可以推出：文本串子串的后 $k$ 位后缀和模式串子串的前 $k$ 位是相同的，即 $T[i + j - k: i + j] == p[0: k]$（这部分是已经比较过的），不需要再比较了，可以直接跳过。

那么我们就可以将文本串中的 $T[i + j]$ 对准模式串中的 $p[k]$，继续进行对比。这里的 $k$ 其实就是 $next[j - 1]$。

2. KMP 算法步骤

3.1 next 数组的构造

我们可以通过递推的方式构造 $next$ 数组。

• 我们把模式串 $p$ 拆分成 $left$、$right$ 两部分。$left$ 表示前缀串开始所在的下标位置，$right$ 表示后缀串开始所在的下标位置，起始时 $left = 0$，$right = 1$。
• 比较一下前缀串和后缀串是否相等。通过比较 $p[left]$ 和 $p[right]$ 来进行判断。
• 如果 $p[left] != p[right]$，说明当前的前后缀不相同。则让后缀开始位置 $k$ 不动，前缀串开始位置 $left$ 不断回退到 $next[left - 1]$ 位置，直到 $p[left] == p[right]$ 为止。
• 如果 $p[left] == p[right]$，说明当前的前后缀相同，则可以先让 $left += 1$，此时 $left$ 既是前缀下一次进行比较的下标位置，又是当前最长前后缀的长度。
• 记录下标 $right$ 之前的模式串 $p$ 中，最长相等前后缀的长度为 $left$，即 $next[right] = left$。

3.2 KMP 算法整体步骤

1. 根据 $next$ 数组的构造步骤生成「前缀表」$next$。
2. 使用两个指针 $i$、$j$，其中 $i$ 指向文本串中当前匹配的位置，$j$ 指向模式串中当前匹配的位置。初始时，$i = 0$，$j = 0$。
3. 循环判断模式串前缀是否匹配成功，如果模式串前缀匹配不成功，将模式串进行回退，即 $j = next[j - 1]$，直到 $j == 0$ 时或前缀匹配成功时停止回退。
4. 如果当前模式串前缀匹配成功，则令模式串向右移动 $1$ 位，即 $j += 1$。
5. 如果当前模式串 完全 匹配成功，则返回模式串 $p$ 在文本串 $T$ 中的开始位置，即 $i - j + 1$。
6. 如果还未完全匹配成功，则令文本串向右移动 $1$ 位，即 $i += 1$，然后继续匹配。
7. 如果直到文本串遍历完也未完全匹配成功，则说明匹配失败，返回 $-1$。

3. KMP 算法代码实现

# 生成 next 数组
# next[j] 表示下标 j 之前的模式串 p 中，最长相等前后缀的长度
def generateNext(p: str):
    m = len(p)
    next = [0 for _ in range(m)]                # 初始化数组元素全部为 0
    
    left = 0                                    # left 表示前缀串开始所在的下标位置
    for right in range(1, m):                   # right 表示后缀串开始所在的下标位置
        while left > 0 and p[left] != p[right]: # 匹配不成功, left 进行回退, left == 0 时停止回退
            left = next[left - 1]               # left 进行回退操作
        if p[left] == p[right]:                 # 匹配成功，找到相同的前后缀，先让 left += 1，此时 left 为前缀长度
            left += 1
        next[right] = left                      # 记录前缀长度，更新 next[right], 结束本次循环, right += 1

    return next

# KMP 匹配算法，T 为文本串，p 为模式串
def kmp(T: str, p: str) -> int:
    n, m = len(T), len(p)
    
    next = generateNext(p)                      # 生成 next 数组
    
    j = 0                                       # j 为模式串中当前匹配的位置
    for i in range(n):                          # i 为文本串中当前匹配的位置
        while j > 0 and T[i] != p[j]:           # 如果模式串前缀匹配不成功, 将模式串进行回退, j == 0 时停止回退
            j = next[j - 1]
        if T[i] == p[j]:                        # 当前模式串前缀匹配成功，令 j += 1，继续匹配
            j += 1
        if j == m:                              # 当前模式串完全匹配成功，返回匹配开始位置
            return i - j + 1
    return -1                                   # 匹配失败，返回 -1
            
print(kmp("abbcfdddbddcaddebc", "ABCABCD"))
print(kmp("abbcfdddbddcaddebc", "bcf"))
print(kmp("aaaaa", "bba"))
print(kmp("mississippi", "issi"))
print(kmp("ababbbbaaabbbaaa", "bbbb"))

4. KMP 算法分析

• KMP 算法在构造前缀表阶段的时间复杂度为 $O(m)$，其中 $m$ 是模式串 $p$ 的长度。
• KMP 算法在匹配阶段，是根据前缀表不断调整匹配的位置，文本串的下标 $i$ 并没有进行回退，可以看出匹配阶段的时间复杂度是 $O(n)$，其中 $n$ 是文本串 $T$ 的长度。
• 所以 KMP 整个算法的时间复杂度是 $O(n + m)$，相对于朴素匹配算法的 $O(n \times m)$ 的时间复杂度，KMP 算法的效率有了很大的提升。

参考资料

• 【书籍】柔性字符串匹配 - 中科院计算所网络信息安全研究组 译
• 【书籍】ACM-ICPC 程序设计系列 - 算法设计与实现 - 陈宇 吴昊 主编
• 【博文】从头到尾彻底理解 KMP - 结构之法 算法之道 - CSDN博客
• 【博文】字符串匹配的 KMP 算法 - 阮一峰的网络日志
• 【题解】多图预警 - 详解 KMP 算法 - 实现 strStr() - 力扣
• 【题解】「代码随想录」KMP算法详解 - 实现 strStr() - 力扣