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单源最短路径（Single Source Shortest Path）：对于一个带权图 $G = (V, E)$，其中每条边的权重是一个实数。另外，给定 $v$ 中的一个顶点，称之为源点。则源点到其他所有各个顶点之间的最短路径长度，称为单源最短路径。
这里的路径长度，指的是路径上各边权之和。
单源最短路径问题的核心是找到从源点到其他各个顶点的路径，使得路径上边的权重之和最小。这个问题在许多实际应用中都非常重要，比如网络路由、地图导航、通信网络优化等。
常见的解决单源最短路径问题的算法包括：
这些算法根据图的特点和问题的需求有所不同，选择适合的算法可以在不同情况下有效地解决单源最短路径问题。
Dijkstra 算法的算法思想：通过逐步选择距离起始节点最近的节点，并根据这些节点的路径更新其他节点的距离，从而逐步找到最短路径。
Dijkstra 算法是一种用来解决单源最短路径问题的算法。这个算法适用于没有负权边的图。算法的核心思想是从源点出发，逐步找到到其他所有点的最短路径。它通过不断选择当前距离源点最近的节点，并更新与该节点相邻的节点的距离，最终得到所有节点的最短路径。
Dijkstra 算法使用贪心的策略。它每次选择当前未处理的节点中距离源点最近的节点，认为这个节点的最短路径已经确定。然后，它用这个节点的最短路径去更新其他相邻节点的距离。这个过程重复进行，直到所有节点的最短路径都被确定。
Dijkstra 算法的一个重要特点是它不能处理有负权边的图。因为负权边可能导致已经确定的最短路径被破坏。如果图中存在负权边，应该使用 Bellman-Ford 算法或 SPFA 算法。
class Solution:
def dijkstra(self, graph, n, source):
# 初始化距离数组
dist = [float('inf') for _ in range(n + 1)]
dist[source] = 0
# 记录已处理的节点
visited = set()
while len(visited) < n:
# 选择当前未处理的、距离源点最近的节点
current_node = None
min_distance = float('inf')
for i in range(1, n + 1):
if i not in visited and dist[i] < min_distance:
min_distance = dist[i]
current_node = i
# 如果没有可处理的节点（非连通图），提前结束
if current_node is None:
break
# 标记当前节点为已处理
visited.add(current_node)
# 更新相邻节点的距离
for neighbor, weight in graph[current_node].items():
new_distance = dist[current_node] + weight
if new_distance < dist[neighbor]:
dist[neighbor] = new_distance
return dist
# 使用示例
# 创建一个有向图，使用邻接表表示
graph = {
1: {2: 2, 3: 4},
2: {3: 1, 4: 7},
3: {4: 3},
4: {}
}
n = 4 # 图中节点数量
source = 1 # 源节点
dist = Solution().dijkstra(graph, n, source)
print("从节点", source, "到其他节点的最短距离：")
for i in range(1, n + 1):
if dist[i] == float('inf'):
print(f"到节点 {i} 的距离：不可达")
else:
print(f"到节点 {i} 的距离：{dist[i]}")
时间复杂度：$O(V^2)$
空间复杂度：$O(V)$
dist，大小为 $O(V)$visited，大小为 $O(V)$堆优化的 Dijkstra 算法：通过使用优先队列（堆）来优化选择最小距离节点的过程，从而降低算法的时间复杂度。
在原始的 Dijkstra 算法中，每次都需要遍历所有未访问的节点来找到距离最小的节点，这个过程的时间复杂度是 $O(V)$。通过使用优先队列（堆）来维护当前已知的最短距离，我们可以将这个过程的时间复杂度优化到 $O(\log V)$。
堆优化的主要思想是：
import heapq
class Solution:
def dijkstra(self, graph, n, source):
# 初始化距离数组
dist = [float('inf') for _ in range(n + 1)]
dist[source] = 0
# 创建优先队列，存储 (距离, 节点) 的元组
priority_queue = [(0, source)]
while priority_queue:
current_distance, current_node = heapq.heappop(priority_queue)
# 如果当前距离大于已知的最短距离，跳过
if current_distance > dist[current_node]:
continue
# 遍历当前节点的所有相邻节点
for neighbor, weight in graph[current_node].items():
distance = current_distance + weight
if distance < dist[neighbor]:
dist[neighbor] = distance
heapq.heappush(priority_queue, (distance, neighbor))
return dist
# 使用示例
# 创建一个有向图，使用邻接表表示
graph = {
1: {2: 2, 3: 4},
2: {3: 1, 4: 7},
3: {4: 3},
4: {}
}
n = 4 # 图中节点数量
source = 1 # 源节点
dist = Solution().dijkstra(graph, n, source)
print("从节点", source, "到其他节点的最短距离：")
for i in range(1, n + 1):
if dist[i] == float('inf'):
print(f"到节点 {i} 的距离：不可达")
else:
print(f"到节点 {i} 的距离：{dist[i]}")
代码解释：
graph 是一个字典，表示图的邻接表。例如，graph[1] = {2: 3, 3: 4} 表示从节点 1 到节点 2 的边权重为 3，到节点 3 的边权重为 4。n 是图中顶点的数量。source 是源节点的编号。dist 数组存储源点到各个节点的最短距离。priority_queue 是一个优先队列，用来选择当前距离源点最近的节点。队列中的元素是 (距离, 节点) 的元组。dist 数组中存储的就是源点到所有节点的最短距离。时间复杂度：$O((V + E) \log V)$
空间复杂度：$O(V)$
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