动量方程的推导

参考文献

计算流体力学基础及其应用（美.约翰.安德森）——p54

李东岳——无痛苦NS方程——p34

北京航空航天大学——王洪伟（我所理解的流体力学）

本节主要是基于牛顿第二定律:$F=ma$对动量方程进行推导。为了方便推导，这里主要选取运动的无穷小流体微团为研究对象，无穷小的流体微团在运动过程中主要受体积力以及表面力的作用。表面力，顾名思义就是作用在无穷小微团表面的力，如压力、表面张力、粘性力（正应力、切应力）等；体积力作用在无穷小微团全部体积上（不仅表面有、体积内也有），例如重力、电磁力、电场力等。主要的分类如下图所示。

无穷小流体微团在运动中主要受到两种表面力的作用：

1）由流体微团周围的流体作用于流体微团表面的压力分布

2）由于外部流体推拉流体微团而产生的，以摩擦的方式作用于表面的切应力以及正应力分布。

为了便于理解，这里首先给出二维流体微团的受力分析，然后在此基础上将其扩展到三维流体微团。如下图所示，一个流体微团受到的表面力主要有压力以及粘性力，而粘性力根据方向又可以分为正应力以及切应力。这里的分量存在两个下标，第一个下标表示作用于与某方向垂直的平面，第二个下标表示力的方向。根据下图的受力分析，最终可以分别得到对应X方向以及Y方向的合力。具体的推导过程如下图所示。

根据二维流体微团的受力分析，可以相应的扩展到三维的流体微团。根据牛顿第二定律，作用于微团上力的总和等于微团的质量乘以微团运动时的加速度。将其沿着X、Y、Z轴分解为三个标量的关系式，首先我们仅考虑其中X方向的分量。$F_x=ma_x$，这里我们首先考虑X方向所受的力。将作用在单位质量流体微团上的体积力记作$f$，其$x$方向的分量为$f_x$。流体微团的体积为$dxdydz$，从而作用在流体微团上的体积力$x$方向上的分量为： $$ F_x = \rho f_x(dxdydz) $$ 如下图所示，在面$abcd$上，仅存在由切应力引起的$x$方向的分力$\tau_{yx}d_xd_z$，面$efgh$与面$abcd$的距离为$d_y$，所以根据泰勒公式可得到面$efgh$上$x$方向的切应力为$[\tau_{yx}+(\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y})dy]dxdz$。这里需要说明的是，两个面上的方向是不同的。在底面，$\tau_{yx}$是向左的（与X轴方向相反）；在顶面，切应力的方向是向右的（与X轴的方向相同）。即速度三个分量$u,v,w$的正增量与坐标轴的正向一致。例如，对于平面$efgh$来说，因为$u$沿着$Y$轴的正向是增加的，所以在稍高于平面$efgh$的位置，速度要比平面上的大。于是就形成了“拉”的动作，试图将流体微团向右拉向$X$轴的正向，与此相反，考虑abcd平面，则在稍微低于该平面的位置，速度要比平面上的小，于是对流体微团就形成了阻滞的作用，方向为X轴的负向。特别是在面$dcgh$上，$\tau_{zx}$指向X轴的负方向；而在面$abfe$上，$\tau_{zx}+(\frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z})dz$指向X轴正向。在垂直于X轴的面$adhe$上，X方向的力有压力$pdxdz$，指向流体微团的内部，还有沿着X轴负向的应力$\tau_{xx}dydz$。

综上所述，对运动的流体微团，X方向总的表面力： $$ [p-(p+\frac{\partial p}{\partial x})dx]dydz+[(\tau_{xx}+\frac{\partial \tau_{xx}}{\partial x}dx)-\tau_{xx}]dydz+[(\tau_{yx}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}dy)-\tau_{yx}]dxdz+[(\tau_{zx}+\frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z}dz)-\tau_{zx}]dxdy $$ 加上体积力，有： $$ F_x=(-\frac{\partial p}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z})dxdydz+\rho f_xdxdydz $$ 因为这里我们考虑的是运动的流体微团，其质量是固定不变的，即： $$ m=\rho dxdydz $$ 另外，我们知道流体微团的加速度就是速度变化的时间变化率。所以，加速度的x方向的分量，记作$a_x$，等于直接就是$u$的时间变化率。这里我们直接根据物质导数的定义，即： $$ a_x=\frac{D_u}{D_t} $$ 这里将上述得到的结果带入牛顿第二定律中，得到： $$ x 方向动量方程：\rho \frac{D_u}{D_t}=-\frac{\partial \rho}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z}+\rho f_x \\ y方向的动量方程:\rho \frac{D_v}{D_t}=-\frac{\partial \rho}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z}+\rho f_y \\ z方向的动量方程:\rho \frac{D_w}{D_t}=-\frac{\partial \rho}{\partial z}+\frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{zz}}{\partial z}+\rho f_z \\ $$ 因为上述推导是基于运动的流体微团得到的，因此上述方程组是非守恒的，为了纪念法国人M.Navier和英国人G.Stokes，上述方程统称为纳维-斯托克斯方程，也就是大家所熟知的NS方程。那如何得到守恒的NS方程呢？继续往下讨论。。。 。。。

将上述非守恒形式的动量方程，结合物质导数的定义进一步简化为: $$ \rho \frac{DU}{Dt}=- \nabla \rho+\nabla. \tau + \rho F \\ \rho (\frac{\partial U}{\partial t}+U.\nabla U)=- \nabla \rho+\nabla. \tau + \rho F $$ 将连续性方程左右同乘以U，有： $$ U \frac{\partial \rho}{\partial t}+U \nabla.(\rho U)=0 $$ 将上述连续方程与动量方程相加： $$ U \frac{\partial \rho}{\partial t}+U \nabla.(\rho U)+\rho (\frac{\partial U}{\partial t}+U.\nabla U)=- \nabla \rho+\nabla. \tau + \rho F_x $$ 进一步化简，得到守恒形式的动量方程为: $$ \frac{\partial \rho \mathbf{U}}{\partial t}+\nabla \cdot(\rho \mathbf{U U})=-\nabla p+\nabla \cdot \tau +\rho F $$ 若将其展开，则有： $$ \frac{\partial(\rho u)}{\partial t}+\nabla \cdot(\rho u V)=-\frac{\partial p}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{x x}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{y x}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{x z}}{\partial z}+\rho f_{x} \\ \frac{\partial(\rho v)}{\partial t}+\nabla \cdot(\rho v \boldsymbol{V})=-\frac{\partial p}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{x y}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{y y}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{z y}}{\partial z}+\rho f_{y}\\ \frac{\partial(\rho w)}{\partial t}+\nabla \cdot(\rho w \boldsymbol{V})=-\frac{\partial p}{\partial z}+\frac{\partial \tau_{x z}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{y z}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{z z}}{\partial z}+\rho f_{z} $$ 上述方程就是纳维-斯托克斯方程的守恒形式。

17世纪末牛顿指出，流体的切应力与应变的时间变化率，也就是速度梯度，是成正比的。这样的流体被称为牛顿流体。在空气动力学中，流体都可以被看做是牛顿流体。对于这样的流体，斯托克斯在1845年得到： $$ \begin{aligned} &\tau_{x x}=\lambda(\nabla \cdot V)+2 \mu \frac{\partial u}{\partial x} \\ &\tau_{y y}=\lambda(\nabla \cdot V)+2 \mu \frac{\partial v}{\partial y} \\ &\tau_{z}=\lambda(\nabla \cdot V)+2 \mu \frac{\partial w}{\partial z} \\ &\tau_{x y}=\tau_{y x}=\mu\left(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\right) \\ &\tau_{x z}=\tau_{z x}=\mu\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}\right) \\ &\tau_{y z}=\tau_{z y}=\mu\left(\frac{\partial w}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial z}\right) \end{aligned} $$ 其中$\mu$是分子的粘性系数，$lambda$是第二粘性系数。斯托克斯提出假设，认为： $$ \lambda=-\frac{2}{3} \mu $$ 将上述式子带入守恒的动量方程中，可以得到完整的守恒形式的纳维-斯托克斯方程（N-S方程） $$ \begin{gathered} \frac{\partial(\rho u)}{\partial t}+\frac{\partial\left(\rho u^{2}\right)}{\partial x}+\frac{\partial(\rho u v)}{\partial y}+\frac{\partial(\rho u w)}{\partial z}=-\frac{\partial p}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial t}\left(\lambda \nabla \cdot V+2 \mu \frac{\partial u}{\partial x}\right)+ \\ \frac{\partial}{\partial y}\left[\mu\left(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\right)\right]+\frac{\partial}{\partial z}\left[\mu\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}\right)\right]+\rho f_{x} \\ \frac{\partial(\rho v)}{\partial t}+\frac{\partial(\rho u v)}{\partial x}+\frac{\partial\left(\rho v^{2}\right)}{\partial y}+\frac{\partial(\rho v w)}{\partial z}=-\frac{\partial p}{\partial y}+\frac{\partial}{\partial x}\left[\mu\left(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\right)\right]+ \\ \frac{\partial}{\partial y}\left(\lambda \nabla \cdot V+2 \mu \frac{\partial v}{\partial y}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left[\mu\left(\frac{\partial w}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial z}\right)\right]+\rho f_{y} \\ \frac{\partial(\rho w)}{\partial t}+\frac{\partial(\rho u w)}{\partial x}+\frac{\partial(\rho v w)}{\partial y}+\frac{\partial\left(\rho w^{2}\right)}{\partial z}=-\frac{\partial p}{\partial z}+\frac{\partial}{\partial x}\left[\mu\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}\right)\right]+ \frac{\partial}{\partial y}\left[\mu\left(\frac{\partial w}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial z}\right)\right]+\frac{\partial}{\partial z}\left(\lambda \nabla \cdot V+2 \mu \frac{\partial w}{\partial z}\right)+\rho f_{z} \end{gathered} $$

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