problems/1043.partition-array-for-maximum-sum.md · lonuslan/leetcode

## 题目地址(1043. 分隔数组以得到最大和)

https://leetcode-cn.com/problems/partition-array-for-maximum-sum/

## 题目描述

```
给你一个整数数组 arr，请你将该数组分隔为长度最多为 k 的一些（连续）子数组。分隔完成后，每个子数组的中的所有值都会变为该子数组中的最大值。

返回将数组分隔变换后能够得到的元素最大和。

注意，原数组和分隔后的数组对应顺序应当一致，也就是说，你只能选择分隔数组的位置而不能调整数组中的顺序。

示例 1：

输入：arr = [1,15,7,9,2,5,10], k = 3
输出：84
解释：
因为 k=3 可以分隔成 [1,15,7] [9] [2,5,10]，结果为 [15,15,15,9,10,10,10]，和为 84，是该数组所有分隔变换后元素总和最大的。
若是分隔成 [1] [15,7,9] [2,5,10]，结果就是 [1, 15, 15, 15, 10, 10, 10] 但这种分隔方式的元素总和（76）小于上一种。

示例 2：

输入：arr = [1,4,1,5,7,3,6,1,9,9,3], k = 4
输出：83

示例 3：

输入：arr = [1], k = 1
输出：1

提示：

1 <= arr.length <= 500
0 <= arr[i] <= 109
1 <= k <= arr.length
```

## 前置知识

- 动态规划
- 记忆化递归

## 公司

- 暂无

## 记忆化递归

### 思路

这道题的思路无非就是暴力枚举所有的可能，求所有可能中的最大值即可。

因此我们可以枚举所有的 i，然后计算区间 [i:j] 的可能区间和，其中 j 的取值范围是 [i:i+k]。如何对区间求和呢？ 其实也容易，只需要用一个变量 max_ele 记录区间最大值（这在遍历的时候可以同时取得），然后 max_ele \* (j-i+1) 即可，其中 j - i + 1 为区间的长度。这样我们就算出了区间 [i:i+k] 的区间和最大值。也就是说我们将问题规模缩小了，继续使用同样的方法直到问题缩小到寻常即可。使用递归可以轻松达到这一点。

### 代码

- 语言支持：Python3

Python3 Code:

```python

class Solution:
    def maxSumAfterPartitioning(self, arr: List[int], k: int) -> int:
        @lru_cache(None)
        def dp(i):
            if i >= len(arr): return 0
            ans = 0
            max_value = -1
            for steps in range(1, k + 1):
                if i + steps - 1 < len(arr): max_value = max(max_value, arr[i + steps - 1])
                else: break
                ans = max(ans, max_value * steps +  dp(i + steps))
            return ans
        return dp(0)

```

**复杂度分析**

令 n 为数组长度。

- 时间复杂度：$O(n^2)$
- 空间复杂度：$O(n)$

## 动态规划

### 思路

同上。我们可以将上面的代码改成普通 dp 形式。

只要：

- 将递归的代码改成 for 循环
- 记忆化的地方用 dp 数组代替

即可轻松实现。

### 代码

- 语言支持：Python3

Python3 Code:

```python

class Solution:
    def maxSumAfterPartitioning(self, nums: List[int], k: int) -> int:
        n = len(nums)
        dp = [0] * (n+1)

for i in range(1, n+1):
            max_ele = 0
            for j in range(i, min(n+1, i+k)):
                max_ele = max(max_ele, nums[j-1])
                # range: [i,j]
                dp[j] = max(dp[j], (j-i+1) * max_ele + dp[i-1])
        return max(dp)

```

**复杂度分析**

令 n 为数组长度。

- 时间复杂度：$O(n^2)$
- 空间复杂度：$O(n)$

> 此题解由 [力扣刷题插件](https://leetcode-pp.github.io/leetcode-cheat/?tab=solution-template) 自动生成。

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